Binomialkoeffizient < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Do 27.12.2012 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] + [mm] \vektor{n-1 \\ k} [/mm] |
Hallo,
ich verstehe nicht wie ich die obige Aussage beweisen soll. Der Beweis ist zwar auf Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient#Rekursive_Darstellung_und_Pascalsches_Dreieck) aber ich verstehe es trotzdem nicht.
Also den ersten Schritt kapiere ich. Da wird einfach eingesetzt nach der Formel:
[mm] \bruch{n!}{k! (n-k)!}
[/mm]
Aber beim zweiten schritt verstehe ich z.b. nicht woher das k kommt was im nenner und im zähler multipliziert wird. und wieso kommt man dann auf den dritten schritt?
also ich sitze schon seit 2 tagen an diesem beweis. ich verstehe es einfach nicht.
werden hier auf wikipedia schritte ausgelassen?
danke schonmal.
grüße
ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Do 27.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast:
[mm] ${n-1\choose k-1}+ {n-1\choose k}$
[/mm]
Definitionen einsetzen:
[mm] $\frac{(n-1)!} {(k-1)!\cdot(n-k)!} +\frac{(n-1)!} {k!\cdot(n-k-1)!}$
[/mm]
Brüche erweitern, um sie gleichnamig zu machen
[mm] \frac{(n-1)!\cdot k}{k\cdot(k-1)!\cdot (n-k)!} [/mm] + [mm] \frac{(n-1)!\cdot (n-k)}{k!\cdot (n-k) \cdot (n-k-1)!}
[/mm]
Brüche Addieren, der Schrittt fehlt bei Wikipedia
[mm] \frac{(n-1)! \cdot k+(n-1)!\cdot (n-k)}{k! \cdot (n-k) \cdot (n-k-1)!}
[/mm]
Nun kannst du im Zähler (n-1)! ausklammern, und im Nenner bedenke, dass $(n-k) [mm] \cdot [/mm] (n-k-1)!=(n-k)!$
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Do 27.12.2012 | | Autor: | piriyaie |
Sorry aber kannst du bitte die Antwort nochmal schreiben? Die formationen haben bei deiner Antwort teilweise nicht geklappt. Die Antwort ist somit unverständlich für mich.
Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 Do 27.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Sorry aber kannst du bitte die Antwort nochmal schreiben?
> Die formationen haben bei deiner Antwort teilweise nicht
> geklappt. Die Antwort ist somit unverständlich für mich.
>
> Danke.
Ich habe meine Antwort editiert, sorry.
Marius
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Hallo, du möchtest die Gleichheit zeigen
[mm] \vektor{n \\ k}=\vektor{n-1 \\ k-1}+\vektor{n-1 \\ k}
[/mm]
Definition anwenden
[mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!}=\bruch{(n-1)!}{(k-1)!*((n-1)-(k-1))!}+\bruch{(n-1)!}{k!*((n-1)-k)!}
[/mm]
zusammenfassen
[mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!}=\bruch{(n-1)!}{(k-1)!*(n-k)!}+\bruch{(n-1)!}{k!*(n-k-1)!}
[/mm]
rechte Seite der Gleichung:
1. Bruch mit k erweitern
2. Bruch mit (n-k) erweitern
[mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!}=\bruch{(n-1)!*k}{(k-1)!*(n-k)!*k}+\bruch{(n-1)!*(n-k)}{k!*(n-k-1)!*(n-k)}
[/mm]
(k-1)!*k=k!
(n-k-1)!*(n-k)=(n-k)!
[mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!}=\bruch{(n-1)!*k}{k!*(n-k)!}+\bruch{(n-1)!*(n-k)}{k!*(n-k)!}
[/mm]
rechte Seite der Gleichung auf einen Bruchstrich
[mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!}=\bruch{(n-1)!*k+(n-1)!*(n-k)}{k!*(n-k)!}
[/mm]
rechte Seite der Gleichung im Zähler (n-1)! ausklammern
[mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!}=\bruch{(n-1)!*[k+(n-k)]}{k!*(n-k)!}
[/mm]
[mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!}=\bruch{(n-1)!*(k+n-k)}{k!*(n-k)!}
[/mm]
[mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!}=\bruch{(n-1)!*(n)}{k!*(n-k)!}
[/mm]
(n-1)!*n=n!
[mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!}=\bruch{n!}{k!*(n-k)!}
[/mm]
q.e.d.
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Do 27.12.2012 | | Autor: | piriyaie |
supi. danke :-D
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