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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Binomialkoeffizienten
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Binomialkoeffizienten: Induktionsbeweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:32 Fr 20.11.2015
Autor: Manu271

Aufgabe
a) Seien m, n, p, k ∈ [mm] \IN [/mm] , k + n ≤ p. Zeigen Sie durch vollständige Induktion über
m:
[mm] \summe_{i=-k}^{min{m-k,n}} \{m \choose k+1} \{p \choose n+i} [/mm] = [mm] \{m+p \choose k+n} [/mm]


Hallo,

vorab: Die Vorschau für die Aufgabe spinnt bei mir, deshalb bin ich mir nicht sicher ob alles richtig dargestellt wird.
Falls nicht, ist hier noch ein Link zu der Aufgabe: http://www.bilder-upload.eu/show.php?file=44f878-1448041146.png

Nun zur Aufgabe an sich:

Eigentlich bin ich in Induktionsbeweisen bisher ganz fit, jedoch bereitet mir hier der Bereich der Laufvariable i etwas Kopfzerbrechen, nämlich bis [mm] \min{m-k,n}. [/mm]

Der Induktionsanfang ist noch recht simpel, da ja für m=0 das Minimum aus (-k,n) offensichtlich -k ist, da ja k und n aus den natürlichen Zahlen sind.
Aber wie sieht das im Induktionsschritt aus?
Bisher habe ich dann einfach angenommen, dass m-k das Minimum bleibt. Leider komme ich dann beim Umformen der Terme irgendwann nicht mehr weiter.

Ich freue mich auf Tipps

LG,
Manu271



        
Bezug
Binomialkoeffizienten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:55 Sa 21.11.2015
Autor: Richie1401

Hallo Manu,

erst einmal die richtige Darstellung:

   [mm] \sum_{i=-k}^{\min(m-k,n)}\binom{m}{k+i}\binom{p}{n-i}=\binom{m+p}{k+n} [/mm]

Ich würde übrigens bei dem Induktionsbeweis mit m=1 beginnnen. Zum einen: Wer weiß, ob Null wirklich im Zahlbereich [mm] \IN [/mm] liegt (also im Sinne des Autors der Aufgabe). Zum andern: ich glaube bei m=0 sieht man einfach nix bei der Aufgabe.

Ich habe es jetzt nicht direkt probiert und schon gar nicht rumgerechnet, aber allgemein ein paar Hinweise, was du versuchen könntest:

1. Indexverschiebung bei der Summe. Forme so um, dass die Laufvariable bei $i=0$ beginnt. Dann könntest du eventuell später auf bekannte Summen, zurückgreifen (siehe Formelsammlung oder Wikipedia).

2. Bzgl. des Minimums: Ich würde eine Fallunterscheidung vornehmen. Im Prinzip hättest du drei Fälle:
   a) m-k<n
   b) m-k=n
   c) m-k>n
Vermutlich bringt es den Vorteil, dass dann ein Binomialkoeffizient einfacher darstellbar ist, also dieser eventuell 1 wird.

Dies waren erst einmal meine Hinweise. Vielleicht nützt es dir etwas.

Bezug
                
Bezug
Binomialkoeffizienten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:24 Sa 21.11.2015
Autor: Manu271

Vielen Dank für deine Tipps, ich setze mich am Sonntag oder heute Abend hin und versuche es :)

LG

Bezug
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