Binomialkoeffizienten < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
hallo ich soll folgendes mit hilfe der vollständigen induktion beweisen:
für jedes n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] 0\lek\len [/mm] gilt:
[mm] \pmat{ n+1 \\ k } [/mm] = [mm] \pmat{ n \\ k-1 } [/mm] + [mm] \pmat{ n \\ k }
[/mm]
ich weiß jezz aba nicht so recht, wie ich da rangehen soll
kann ich für
[mm] \pmat{ n+1 \\ k } [/mm] auch [mm] \pmat{ n \\ k } [/mm] * n+1 schreiben?
und dann halt für [mm] \pmat{ n \\ k-1 } [/mm] halt [mm] \pmat{ n \\ k } [/mm] * [mm] \bruch{1}{k-1} [/mm] schreiben.....und bringt mir das dann iwas....also das war iwie mein anfang/einfall.....
|
|
| |
|
wie kommst du denn von
[mm] =\bruch{n!\cdot{}k}{(k-1)!\cdot{}k\cdot{}(n+1-k)!}+\bruch{n!}{k!\cdot{}(n-k)!} [/mm]
nach
[mm] =k\cdot{}\bruch{n!}{k!\cdot{}(n-k)!\cdot{}(n+1)}+\bruch{n!}{k!\cdot{}(n-k)!}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Mo 09.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm] \bruch{n!\cdot{}k}{\green{(k-1)!*k}(n+1-k)!}
[/mm]
[mm] =\bruch{n!\cdot{}k}{\green{k!}(n-k+1)!}
[/mm]
[mm] =\bruch{n!\cdot{}k}{k!(n-k)!*(n-k+1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{k}{n-k+1}*\bruch{n!}{k!(n-k)!}
[/mm]
Sorry, da war nen Fehler drin.
Marius
|
|
|
| |
|
jezz seh ich da gar nich mehr durch....wie gehts denn jezz von dem, was du grad geschrieben hast nun weiter???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 11.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
[mm] $\pmat{ n+1\\ k }\ [/mm] =\ [mm] \pmat{n\\ k}+\pmat{n\\ k-1 }$
[/mm]
Hallo zusammen,
es gibt für diesen Satz einen ganz netten
Beweis für den Fall, dass man schon weiß,
dass [mm] \vektor{n\\k} [/mm] die Anzahl der Möglichkeiten ist,
aus einer Menge von n Elementen eine
Teilmenge von genau k Elementen heraus-
zugreifen. Dabei soll natürlich $\ [mm] 0\le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$
gelten.
Stellen wir uns eine Schulklasse aus n Schüler-
Innen vor, welcher die Klassenlehrerin am ersten
Schultag erklärt, dass die Klasse Anspruch auf
k Sitze im Schülerparlament der Schule hat.
Am nächsten Tag bezirzen einige Schülerinnen
den Mathelehrer, er möge der Klasse doch
eine Viertelstunde für die äußerst dringliche
Wahl der Klassenvertreter gewähren. Er unter-
liegt dem geballten Charme und opfert eine der
geplanten Übungsaufgaben zu Logarithmen.
Die Wahl wird durchgeführt. Wieder einen Tag
später trifft ein zusätzlicher Schüler, Lukas,
ein, der auch noch in die Klasse kommt, weil
eine andere überfüllt war. Natürlich stellt
sich die Frage, ob man die Wahl wiederholen
muss. Die gesamte Anzahl der Auswahlmög-
lichkeiten hat sich ja nun von [mm] \pmat{n\\k} [/mm] auf [mm] \pmat{n+1\\k} [/mm]
erhöht, wenn man Lukas eine faire Chance
zugestehen will. Es gibt nun zwei Möglichkeiten:
entweder bleibt es bei der schon getroffenen Wahl
aus den insgesamt [mm] \pmat{n\\k} [/mm] Möglichkeiten oder aber
Lukas kommt auch in die Schülervertretung, dazu
(k-1) Vertreter aus der anfänglichen n-köpfigen
Klasse. Wie viele zusätzliche Möglichkeiten er-
geben sich für die Wahl ? Die bisherigen Mög-
lichkeiten bleiben alle, dazu kommen aber jene,
bei welchen Lukas gewählt werden sollte.
Also muss die Gleichung gelten:
[mm] $\pmat{n+1\\k}\ [/mm] =\ [mm] \underbrace{\pmat{n\\k}}_{ohne Lukas}+\ \underbrace{\pmat{n\\k-1}}_{mit Lukas}$
[/mm]
Das schöne an diesem Beweis: es ist keine einzige
konkrete Rechnung oder Formelumformung und
auch keine Induktion erforderlich.
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
|
Induktion
