Binomialverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Do 14.08.2008 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | [mm] A_i [/mm] ist das Ereignis "Erfolg beim i-ten Versuch".
Weiter sei [mm] X(\omega) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}I_{A_{i}}(\omega)
[/mm]
Zeige, dass E(X) = np |
Die Definition von E(X) lautet ja [mm] \summe_{k} X(\omega_{k})P({ \omega_k}).
[/mm]
(Eigentlich sollt bei [mm] P(\omega_k) [/mm] noch eine { } Klammer stehen, habe dies aber nicht rausgekriegt, wie mans macht)
Wenn ich nun [mm] X(\omega) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}I_{A_{i}}(\omega)
[/mm]
in die Definition von E(x) einsetze, erhalte ich
[mm] \summe_{k} \summe_{i=1}^{n}I_{A_{i}}(\omega)P({ \omega_k}).
[/mm]
Dieser Ausdruck sollt dann eigenlich gleich [mm] \summe_{i=1}^{n} P(A_i) [/mm] sein, denn [mm] \summe_{i=1}^{n} P(A_i) [/mm] =np. Dann wäre dies gezeigt.
Aber mir ist der Schritt von [mm] \summe_{k} \summe_{i=1}^{n}I_{A_{i}}(\omega)P({ \omega_k}) [/mm] nach [mm] \summe_{i=1}^{n} P(A_i) [/mm] nicht klar.
Ich hoffe, dass mir dies jemand ein bisschen erklären könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Do 14.08.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> [mm]A_i[/mm] ist das Ereignis "Erfolg beim i-ten Versuch".
> Weiter sei [mm]X(\omega)[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n}I_{A_{i}}(\omega)[/mm]
>
> Zeige, dass E(X) = np
Da fehlen ziemlich viele Voraussetzungen. Etwa, wie die Wahrscheinlichkeitsverteilung aussieht, also was [mm] $P(A_i)$ [/mm] ist.
Ich nehme mal an, adss die [mm] $A_i$ [/mm] paarweise disjunkt sind (ich sehe gerade, man kann das auch anders interpretieren); in dem Fall nimmt die Funktion $X$ nur die Werte 0 oder 1 an, womit $0 [mm] \le [/mm] E(X) [mm] \le [/mm] 1$ gilt. Insbesondere muss also $0 [mm] \le [/mm] n p [mm] \le [/mm] 1$ gelten, wenn die Aufgabenstellung so gilt.
> Die Definition von E(X) lautet ja [mm]\summe_{k} X(\omega_{k})P({ \omega_k}).[/mm]
>
> (Eigentlich sollt bei [mm]P(\omega_k)[/mm] noch eine { } Klammer
> stehen, habe dies aber nicht rausgekriegt, wie mans macht)
Du musst die Klammern mit einem \ davor eingeben, also etwa \{Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
fuer $\{$.
> Wenn ich nun [mm]X(\omega)[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n}I_{A_{i}}(\omega)[/mm]
> in die Definition von E(x) einsetze, erhalte ich
>
> [mm]\summe_{k} \summe_{i=1}^{n}I_{A_{i}}(\omega)P({ \omega_k}).[/mm]
Das [mm] $\omega$ [/mm] soll auch ein [mm] $\omega_k$ [/mm] sein, oder?
Erstmal kannst du das ja umschreiben zu [mm] $\sum_{j=1}^n \sum_{k \atop \omega_k \in A_j} \sum_{i=1}^n I_{A_i}(\omega_k) P(\{ \omega_k \}) [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n I_{A_i}(\omega_k) \sum_{k \atop \omega_k \in A_j} P(\{ \omega_k \}) [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n I_{A_i}(A_j) P(A_j)$ [/mm] (da [mm] $I_{A_i}$ [/mm] jeweils auf den Mengen [mm] $A_j$ [/mm] konstant ist) $= [mm] \sum_{i=1}^n P(A_i)$ [/mm] (Definition Indikatorfunktion, da [mm] $I_{A_i}(A_j) [/mm] = 1$ genau dann ist wenn $i = j$, und 0 sonst).
Und damit hast du dann den ersten Teil von:
> Dieser Ausdruck sollt dann eigenlich gleich
> [mm]\summe_{i=1}^{n} P(A_i)[/mm] sein, denn [mm]\summe_{i=1}^{n} P(A_i)[/mm]
> =np. Dann wäre dies gezeigt.
LG Felix
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