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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Binomialverteilung / Bernoulli
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Binomialverteilung / Bernoulli: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 Mi 14.02.2007
Autor: FrauLehmann

Aufgabe
erfahrungsgemäß halten sich 70% der autofahrer an eine geschwindigkeitsbegrenzung

wie groß ist die wahrscheinlichkeit, dass
1)sich alle daran halten
2)sich die mehrheit daran hält
3)sich weniger als 70% daran halten

p= 0,7 ??
(10) * [mm] 0,7^1*(1-0,7)^10-1 [/mm]
  ?  

Mir fehlt der richtige Ansatz :(

ich mache irgendwas falsch !!
wir sind noch ganz am anfang...

danke schonmal im vorraus,
frau lehmann



        
Bezug
Binomialverteilung / Bernoulli: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:37 Mi 14.02.2007
Autor: Zwerglein

Hi, FrauLehmann,

> erfahrungsgemäß halten sich 70% der autofahrer an eine
> geschwindigkeitsbegrenzung
>  
> wie groß ist die wahrscheinlichkeit, dass
>   1)sich alle daran halten
>   2)sich die mehrheit daran hält
>   3)sich weniger als 70% daran halten

Wie viele sind denn eigentlich "alle"??!!

mfG!
Zwerglein

Bezug
                
Bezug
Binomialverteilung / Bernoulli: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:10 Mi 14.02.2007
Autor: FrauLehmann

vergessen... sorry.

10 leute werden getestet !

Bezug
        
Bezug
Binomialverteilung / Bernoulli: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:29 Mi 14.02.2007
Autor: Micha

Hallo Frau Lehmann!
> erfahrungsgemäß halten sich 70% der autofahrer an eine
> geschwindigkeitsbegrenzung
>  
> wie groß ist die wahrscheinlichkeit, dass
> 1)sich alle daran halten
>   2)sich die mehrheit daran hält
>   3)sich weniger als 70% daran halten

Nehmen wir mal [mm] $X_1 [/mm] , [mm] \dots [/mm] , [mm] X_n$ [/mm] als unabh. identisch verteilte Zufallsvariablen an. Wenn [mm] $X_i [/mm] = 1$ ist, so hält sich Fahrer i an das Tempolimit, bei 0 nicht.
Dann ist die Wkt. immer das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten weil die Zufallsvariablen unabhängig sind.

Aufgabe 1:

$P [mm] (\hbox{alle halten sich daran}) [/mm] = [mm] P(X_1=1) [/mm] * [mm] P(X_1 [/mm] = 1) * [mm] \dots [/mm] * [mm] P(X_{10} [/mm] = 1) = [mm] p*p*\dots [/mm] *p = [mm] p^{10} [/mm] = [mm] 0.7^{10} \approx [/mm] 0.28$

Aufgabe 2:

$P [mm] (\hbox{ die Mehrheit hält sich daran }) [/mm] = [mm] P(\hbox{6,7,8,9 oder 10 halten sich dran })= p^6 *(1-p)^4 [/mm] + [mm] p^7*(1-p)^3+ p^8*(1-p)^2+p^9*(1-p)+p^{10}$ [/mm]

(Wenn man annimmt, dass die Mehrheit von 10 Leuten 6 Leute sind, und nicht 5. Ausserdem kann es ja auch sein , dass z.b. 8 sich dran halten und 2 nicht.)

Einsetzen liefert dann das Ergebnis.


Aufgabe 3:

$P [mm] (\hbox{ weniger als 7 halten sich dran }) [/mm] = [mm] 1-P(\hbox{7,8,9 oder 10 halten sich dran })=1-(p^7*(1-p)^3+p^8*(1-p)^2+p^9*(1-p)+p^{10})$ [/mm]

Hoffe das hilft etwas!

Gruß Micha ;-)

Bezug
        
Bezug
Binomialverteilung / Bernoulli: Korrektur!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:39 Do 15.02.2007
Autor: Zwerglein

Hi, FrauLehmann, Hi Micha,


> erfahrungsgemäß halten sich 70% der autofahrer an eine
> geschwindigkeitsbegrenzung
>  
> wie groß ist die wahrscheinlichkeit, dass
> 1)sich alle daran halten
>   2)sich die mehrheit daran hält
>   3)sich weniger als 70% daran halten
>  
> p= 0,7 ??

Michas Lösung zu Aufgabe 1) stimmt, aber bei den beiden anderen hapert's, da er auf die Binomialkoeffizienten vergisst!

2) P(X [mm] \ge [/mm] 6) = [mm] \vektor{10 \\ 6}*0,7^{6}*0,3^{4} [/mm] + ... +   [mm] \vektor{10 \\ 10}*0,7^{10}*0,3^{0} \approx [/mm] 0,850

3) P(X [mm] \le [/mm] 6) = [mm] \vektor{10 \\ 0}*0,7^{0}*0,3^{10} [/mm] + ... +   [mm] \vektor{10 \\ 6}*0,7^{6}*0,3^{4} \approx [/mm] 0,350

mfG!
Zwerglein

Bezug
                
Bezug
Binomialverteilung / Bernoulli: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:41 Do 15.02.2007
Autor: FrauLehmann

Vielen, vielen Dank:).

Habs verstanden und die Folgeaufgaben auch.

Schönen Gruß,

Frau Lehmann

Bezug
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