Binominalkoeffezient < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Mo 21.11.2005 | | Autor: | moonylo |
Hallo,
vom Prinzip her soll (anschaulich gesprochen) die Symmetrie des Pascalschen Dreiecks zeigen..
also 1-1 = 0
1-2+2-1 = 0
1-3+6-3-1=0
usw..
Also für die Summe von (-1) ^k mal binominalkoeffizient wird immer 0.
Das macht man dann wohl mit vollständiger Induktion, da dieses Summenzeichen für alle natürlichen Zahlen n in N gelten soll.
Für n = 1 zu zeigen, kein Problem, einfach ausrechnen.
Beim Induktionsschritt bin ich mir allerdings nicht ganz sicher:
Also nochmal Aufgabenstellung:
[mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^k \* \vektor{n \\ k} [/mm] = 0
Wenn ich das für n zeige, dann muss ich das doch nun für n+1 zeigen. Nun bin ich mir aber nicht sicher:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} (-1)^k \* \vektor{n \\ k} [/mm] = 0
oder
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} (-1)^k \* \vektor{n+1 \\ k} [/mm] = 0
?
Zur weiteren Anschauung muss ich dann ja wieder das Summenzeichen auf n reduzieren:
= [mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^k \* \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] (-1)^k [/mm] * [mm] \vektor{n+1 \\ k} [/mm] .. wobei k im letzten Summanden ja n+1 wäre, also:
= [mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^k \* \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] (-1)^k
[/mm]
(wobei das schonmal nicht sein kann, da ich für das simple n bewiesen hätte, das es für ein n gilt.. also wäre der vordere Teil 0 und der hintere teil 1 oder -1 .. und das hätte keinen Sinn)
Um nochmal auf die "Anfangsproblematik" zurückzukommen:
Wenn für die Summe von 0 bis n+1 gelten würde [mm] (-1)^k [/mm] * [mm] \vektor{n \\ k},
[/mm]
dann müsste ich ja beim "rausziehen" des n+1 schreiben insgesamt:
= [mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^k \* \vektor{n-1 \\ k} [/mm] + [mm] (-1)^k
[/mm]
oder?
Bin etwas verwirrt..
Wäre nett wenn ihr mir da weiterhelfen könntet..
Gruß Jan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:53 Mo 21.11.2005 | | Autor: | moonylo |
Ups.. hab überall vergessen, dass ich natürlich zeigen soll, dass da immer 0 rauskommt für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Mo 21.11.2005 | | Autor: | Soeren |
Folgendes mußt Du im Induktionsschritt beweisen:
$ [mm] \summe_{k=0}^{n+1} (-1)^k [/mm] * [mm] \vektor{n+1 \\ k} [/mm] =0$
Denn Du mußt alle Vorkommen von $n$ durch $n+1$ ersetzen und nicht nur einige davon. Diesen Term gilt es nun, auf den Fall $n$ zurückzuführen, denn Du willst ja die Induktionsvoraussetzung verwenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Mo 21.11.2005 | | Autor: | moonylo |
Danke sehr,
nun ist mir das aber irgendwie nicht klar.
Das würde dann ja heißen, wenn ich das auf n zurückführe:
= [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k [/mm] * [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] (-1)^k [/mm] * [mm] \vektor{n+1 \\ k}
[/mm]
Wobei k = n+1 wäre, also:
= [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k [/mm] * [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + (-1)^(n+1) * [mm] \vektor{n+1 \\ n+1}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k [/mm] * [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + (-1)^(n+1)
Wenn ich nun den Induktionsanfang verwenden würde, dann würde der erste Teil 0 werden.. und damit das Ganze 0 bleibt, müsste (-1)^(n+1) auch 0 werden. Das ist aber für kein n [mm] \in \IN [/mm] möglich.
Folglich wäre die Behauptung garnicht wahr.. was sie aber ist ;)
Wo liegt da der Fehler?
Was möglich wäre, wenn das kein Summenzeichen sondern ein Produktzeichen wäre.. aber das ist es ja nicht..
oder es Muss doch zwangsweise was am n oder k geändert werden, dass der erste Teil 1 oder -1 wird, abhängig davon ob n gerade oder ungerade.. und folglich ist dann der zweite Teil gerade das "Gegenteil" dazu. Das würde für n im ersten und n+1 im zweiten Teil hinhauen, aber für den ersten Teil hab ich doch bewiesen, dass das gilt und dass dort 0 rauskommt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:41 Di 22.11.2005 | | Autor: | Doreen |
[mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^{k} \vektor{n\\k} [/mm] =0 für n [mm] \in \IN
[/mm]
Induktionsanfang:
[mm] S_{1}= \underbrace{(-1)^{0} * \vektor{1\\0}}_{\summe_{k=0}^{1} \vektor{1\\0}} [/mm] + [mm] \underbrace{(-1)^{1} * \vektor{1\\1}}_{\summe_{k=1}^{1} \vektor{1\\1}} [/mm] = 1+1+(-1)+1 = [mm] \underline{0} [/mm] = [mm] \underline{0}
[/mm]
Damit ist die Aussage wahr.
Induktionsschluss:
[mm] S_{n+1} \underbrace{=}_{def.} \summe_{k=0}^{n+1} \underbrace{(-1)^{k} \vektor{n\\k}}_{lt. Voraus.=0} [/mm] + [mm] \underbrace{(-1)^{n+1}\vektor{n+1\\n}}_{letzter Summand} [/mm]
[mm] \underbrace{=}_{Ind.Vor.} [/mm] 0 + [mm] (-1)^{n+1} [/mm] * [mm] \underbrace{\vektor{n+1\\n}}_{=0} [/mm] wird einfach angenommen, damit die Aussage wahr wird.
= 0 + [mm] (-1)^{n+1} [/mm] * 0 =0
Sollte so stimmen...
Kannst ja versuchen, das nachzuvollziehen.
Liebe Grüße Doreen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Di 22.11.2005 | | Autor: | moonylo |
Vielen Dank für die Hilfe, aber da sind mir 2 Sachen sehr unklar..
1.) Du sagtest:
"Induktionsschluss:
[mm] S_{n+1} \underbrace{=}_{def.} \summe_{k=0}^{n+1} \underbrace{(-1)^{k} \vektor{n\\k}}_{lt. Voraus.=0} [/mm] + [mm] \underbrace{(-1)^{n+1}\vektor{n+1\\n}}_{letzter Summand}"
[/mm]
Was ich nicht verstehe, warum im letzten Summanden das k bei (-1) durch n+1 ersetzt wird und beim Binominalkoeffizienten mit n.
2.) Du sagtest:
[mm] "\underbrace{=}_{Ind.Vor.} [/mm] 0 + [mm] (-1)^{n+1} [/mm] * [mm] \underbrace{\vektor{n+1\\n}}_{=0} [/mm] wird einfach angenommen, damit die Aussage wahr wird."
Einfach angenommen? Annehmen kann man ja, aber dann muss man doch auch beweisen.. und dann müsste man beweisen:
[mm] \vektor{n+1\\n} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)}{n! \* (n+1-n)!} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)}{n! \* (1)!} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)}{n!}
[/mm]
[mm] \bruch{(n+1)}{n!} [/mm] müsste dann 0 werden, das kann er aber nie, schon garnicht für n [mm] \in \IN
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Doreen |
Sorry, du hast natürlich recht.
Zu deiner ersten Frage: wir haben gelernt, dass wir bei der vollst. Induktion für den letzten Summanden k = n+1 einsetzen
Das hat der Prof. auch die ganze Zeit in seiner Vorlesung gemacht...
und sorry bei deiner zweiten Frage ist mir ein Tippfehler unterlaufen
es ist nicht k= n sonder k= n+1 und das n ist n
[mm] \vektor{n\\n+1} [/mm] damit wäre k > n und bei der Definition von [mm] \vektor{n\\k} [/mm] steht, wenn k > n dann folgt daraus 0 ....
also müsste es dann folglich richtig heißen,
[mm] S_{n+1} \underbrace{=}_{def.} \summe_{k=0}^{n+1} \underbrace{(-1)^{k} \vektor{n\\k}}_{lt. Voraus.=0} [/mm] + [mm] \underbrace{(-1)^{n+1}\vektor{n\\n+1}}_{letzter Summand}
[/mm]
dann wird der letzte Summand mit 0 multipliziert und das ergibt dann NULL.
Ich hoffe, dass das jetzt nachvollziehbar ist... es wäre mir gar nicht aufgefallen.
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