Binominalkoeffizient < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Hi!
Leider kann ich immer noch nicht rechnen. Bin jetzt bei
der letzten Aufgabe zum Kapitel, und hier klappt wieder
gar nichts.
[mm] \bruch{\vektor{2k \\ k}}{2^{2k}} [/mm] = [mm] \bruch{1*3...(2k-1)}{2*4...(2k)} [/mm]
Zuerst dachte ich das sei ein Druckfehler aber eigentlich ist es doch
nur ein Doppelbruch oder? Also hab ich folgendes gemacht:
[mm] \bruch{2k(2k-1)(2k-2)...(2k-k+1)}{k!2^{2k}}
[/mm]
Leider komme ich jetzt nicht weiter. Hat jemand Plan?
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Hallo Kohei!
Die Gleichheit dieser beiden Terme lässt sich mMn nur mit vollständiger Induktion nachweisen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Hallo!
Danke für den Tipp! Allerdings fällt mir VI sehr schwer.
Ich soll also im Ausdruck
[mm] \bruch{\vektor{2k \\ k}}{2^{2k}} [/mm] = [mm] \bruch{1*3...(2k-1)}{2*4...(2k)}
[/mm]
k=1 setzen um den Induktions-Anfang zu machen, und zu sehen ob
für k=1 beide Seiten gleich sind. Dann muss ich im Induktions-Schritt
k [mm] \to [/mm] k+1 vollziehen und auch hier zeigen das beide Seiten gleich
sind. Ungefähr so?
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Hallo Kohei!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Genauso wie von Dir beschrieben musst Du vorgehen!
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Hallo!
Erst mal vielen Danke für die Hilfe!
Sorry wenn ich mich dumm anstelle aber...
Wenn ich jetzt nur die linke Seite nehme also
[mm] \bruch{\vektor{2k \\ k}}{2^{2k}} [/mm] = [mm] \bruch{2k(2k-1)(2k-2)...(2k-k+1)}{k!2^{2k}} [/mm]
und hier k=1 setze komm ich nicht zu Potte. 2*1-2. Ist der Ansatz
so wie ich machen will überhaupt richtig?
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Hallo Kohei!
Zu zeigen ist doch: [mm] $\bruch{\vektor{2k \\ k}}{2^{2k}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1*3*...*(2k-1)}{2*4*...*(2k)}$
[/mm]
Und nun setzen wir jeweils $k \ = \ 1$ ein:
linke Seite: [mm] $\bruch{\vektor{2*1 \\ 1}}{2^{2*1}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\vektor{2 \\ 1}}{2^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{2}{1}}{4} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
rechte Seite: [mm] $\bruch{2*1-1}{2*1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und nun weiter mit dem Induktionsschritt ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Hi!
Ok. Das ist für mich jedenfalls keine kleine Aufgabe!
Den IAnfang hätte ich, jetzt wo ich ihn sehe können
müssen.
Für den ISchritt muß ich ja dann so etwas zeigen
[mm] \bruch{\vektor{2k+1 \\ k+1}}{2^{(2k+1)}}
[/mm]
Muss ich jetzt das tun? [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{2k+1 \\ k+1}
[/mm]
Also
[mm] \bruch{(2k+1)!}{(k+1)!(n-(k+1)!*2^{(2k+1)}}
[/mm]
Wenn ja komme ich damit gar nicht klar? Keine Ahnung
was ich mit so einem Ausdruck machen kann.
Danke!
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Hallo Kohei!
Du musst beim Einsetzen von $k+1_$ genauer aufpassen und Klammern setzen:
[mm]\bruch{\vektor{2*(k+1) \\ k+1}}{2^{2(k+1)}} \ = \ \bruch{\vektor{2k+2 \\ k+1}}{2^{2k+2}} \ = \ ...[/mm]
Und nun wenden wir die Definition des Binomialkoeffizenten an:
$... \ = \ [mm] \bruch{\bruch{(2k+2)!}{(k+1)!*[(2k+2)-(k+1)]!}}{2^{2k+2}}$
[/mm]
$... \ = \ [mm] \bruch{\bruch{(2k+2)!}{(k+1)!*(k+1)!}}{2^{2k+2}}$
[/mm]
$... \ = \ [mm] \bruch{\bruch{(2k)!*(2k+1)*(2k+2)}{k!*(k+1)*k!*(k+1)}}{2^{2k}*2^2}$
[/mm]
$... \ = \ [mm] \blue{\bruch{\bruch{(2k)!}{k!*k!}}{2^{2k}}} [/mm] * [mm] \bruch{\bruch{(2k+1)*(2k+2)}{(k+1)*(k+1)}}{2^2}$
[/mm]
Auf den blauen Term nun die Induktionsvoraussetzung anwenden und im rechten Bruch noch kürzen und anschließend zusammenfassen, bis wir erhalten:
$... \ = \ [mm] \bruch{1*3*5*...*(2k-1)*(2k+1)}{2*4*6*...*2k*(2k+2)}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:34 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Hallo Roadrunner!
Vielen lieben Dank für Deine Geduld. Ich mach immer son Mist.
Der Ansatz ist da, aber meine Rechenkünste lassen noch zu
wünschen übrig. Ich Arbeite daran!
Grüße Kohei
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Hi!
Ich hoffe so ist es richtig!
Wenn ich die IV anwenden soll ist damit gemeint dass
[mm] \bruch{\bruch{2k!}{k!k!}}{2^{2k}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] wahr ist und ich
dann folgendes machen darf?
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{\bruch{(2k+1)(2k+2)}{(k+1)(k+1)}}{2^{2}}
[/mm]
Wenn ich jetzt versuche noch zu kürzen komme ich auf folgendes
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{(2k+1)}{(2k+2)}
[/mm]
Wenn das so stimmt habe ich jetzt Probleme bei der letzten
Umformung. Hab hier wohl etwas noch nicht verstanden.
Aber was? Es ist doch nur eine andere Schreibweise bei
der mehr Glieder des Produktes (2k+2)! angegeben
werden oder?
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Hallo Kohei!
> [mm]\bruch{\bruch{2k!}{k!k!}}{2^{2k}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] wahr ist
> und ich dann folgendes machen darf?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Der Wert [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] gilt ja nur für $k \ = \ 1$ und nicht für ein allgemeines $k_$ .
Daher setzen wir ein gemäß Induktionsvorausstzung:
[mm] $\bruch{\bruch{2k!}{k!k!}}{2^{2k}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\vektor{2k \\ k}}{2^{2k}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1*3*5*...*(2k-1)}{2*4*6*...*2k}$
[/mm]
Den rechten Bruch hast Du richtig zusammengefasste und gekürzt !!
Und nun beide Brüche zusammen"packen" ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:23 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Kohei |
"Kleine Aufgabe". Damit bin ich demnächst etwas vorsichtiger.
Durch Dich konnte ich heute viel lernen. Nochmals Danke hierfür.
Ich bin gespannt wie meine nächste VI klappt.
Grüße Kohei!
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