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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:12 Sa 26.08.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen!
Ich verstehe etwas bei der binomischen Reihe nicht.
a) Für [mm] \alpha \ge [/mm] 0 konvergiert die binomische Reihe
[mm] (1+x)^{\alpha} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \vektor{\alpha\\n} x^n
[/mm]
absolut und gleichmäßig im Intervall [-1, +1].
Beweis hierzu:
a) Da die binomische Reihe für [mm] \alpha \in \IN [/mm] abbricht, wird [mm] \alpha \notin \IN [/mm] angenommen.
Aus einem vorigen Hilfssatz der asymptotischen Beziehung [mm] \left| \vektor{\alpha\\n} \right| [/mm] ~ [mm] \frac{c}{n^{1+\alpha}} [/mm] mit c [mm] \in \IR [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] folgt, dass eine Konstante K > 0 existiert mit
[mm] \left| \vektor{\alpha\\n} \right| \le \frac{K}{n^{1+\alpha}} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 1.
Da die Reihe [mm] \summe \frac{1}{n^{1+\alpha}} [/mm] für [mm] \alpha [/mm] > 0 konvergiert, folgt die Behauptung.
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Meine Frage nun hierzu: Benutzt man das Majorantenkriterium, so wird ersichtlich, dass die Reihe im besagten Intervall [-1,1] absolut konvergiert.
Aber woraus folgt die gleichmäßige Konvergenz?
So wie immer, wäre ich euch auch dieses Mal dankbar für eure Antworten!
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:36 Sa 26.08.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen!
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> Ich verstehe etwas bei der binomischen Reihe nicht.
>
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> a) Für [mm]\alpha \ge[/mm] 0 konvergiert die binomische Reihe
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> [mm](1+x)^{\alpha}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \vektor{\alpha\\n} x^n[/mm]
>
> absolut und gleichmäßig im Intervall [-1, +1].
>
>
> Beweis hierzu:
>
> a) Da die binomische Reihe für [mm]\alpha \in \IN[/mm] abbricht,
> wird [mm]\alpha \notin \IN[/mm] angenommen.
>
> Aus einem vorigen Hilfssatz der asymptotischen Beziehung
> [mm]\left| \vektor{\alpha\\n} \right|[/mm] ~ [mm]\frac{c}{n^{1+\alpha}}[/mm]
> mit c [mm]\in \IR[/mm] für n [mm]\to \infty[/mm] folgt, dass eine Konstante
> K > 0 existiert mit
>
> [mm]\left| \vektor{\alpha\\n} \right| \le \frac{K}{n^{1+\alpha}}[/mm]
> für alle n [mm]\ge[/mm] 1.
>
> Da die Reihe [mm]\summe \frac{1}{n^{1+\alpha}}[/mm] für [mm]\alpha[/mm] > 0
> konvergiert, folgt die Behauptung.
>
> ---------------
>
>
> Meine Frage nun hierzu: Benutzt man das
> Majorantenkriterium, so wird ersichtlich, dass die Reihe im
> besagten Intervall [-1,1] absolut konvergiert.
> Aber woraus folgt die gleichmäßige Konvergenz?
Wir haben doch:
$ [mm] \left| \vektor{\alpha\\n}x^n \right| \le \frac{K}{n^{1+\alpha}} [/mm] $ für alle n $ [mm] \ge [/mm] $ 1 und für alle $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$.
Es folgt: die bin. Reihe konv. in jedem $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$ absolut. Und mit dem Weierstraß - Kriterium folgt die glm. Konvergenz auf [-1,1]
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> So wie immer, wäre ich euch auch dieses Mal dankbar für
> eure Antworten!
>
>
> Viele Grüße,
> X3nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 26.08.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo Fred,
alles klaro Danke, also doch das Weierstraß'sche Konvergenzkriterium wie ich vermutete 
Viele Grüße,
X3nion
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> > a) Für $ [mm] \alpha \ge [/mm] $ 0 konvergiert die binomische Reihe
> > $ [mm] (1+x)^{\alpha} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \vektor{\alpha\\n} x^n [/mm] $
> > absolut und gleichmäßig im Intervall [-1, +1].
So geschrieben stimmt dies ganz bestimmt nicht !
Indices beachten !
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 So 27.08.2017 | | Autor: | X3nion |
> > > a) Für [mm]\alpha \ge[/mm] 0 konvergiert die binomische Reihe
>
> > > [mm](1+x)^{\alpha}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \vektor{\alpha\\n} x^n[/mm]
>
> > > absolut und gleichmäßig im Intervall [-1, +1].
>
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> So geschrieben stimmt dies ganz bestimmt nicht !
> Indices beachten !
>
> LG , Al-Chw.
Ups, dann setze ich gleich mal [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{\alpha\\n} x^{n} [/mm]
Gruß X3nion
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