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Der Binomialkoeffizient [mm] \vektor{m \\ n} [/mm] würde ja kombinatorisch gesehen bedeuten, wieviele Möglichkeiten es gibt aus m Objekten n Objekte auszuwählen.
Ich verstehe nicht ganz wieso man nun sagen kann, dass beispielsweise bei dem Term (a + [mm] b)^{5} [/mm] genau [mm] \vektor{5 \\ 2} [/mm] mal der Ausdruck [mm] a^{3}b^{2} [/mm] vorkommt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 So 06.12.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo SinistresFlagellum!
Danke, mir geht es auch gut! 
Nach dem binomischen Lehrsatz gilt
[mm] $(a+b)^5=\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}*a^k*b^{5-k}$.
[/mm]
Den Ausdruck [mm] $a^3*b^2\$ [/mm] erhalten wir nur für [mm] $k=3\$ [/mm] und zwar genau [mm] $10=\binom{5}{3}=\binom{5}{5-3}=\binom{5}{2}$ [/mm] Mal.
Insgesamt gilt
[mm] $(a+b)^5=a^5+5*a^4*b+\blue{10*a^3*b^2}+10*a^2*b^3+5*a*b^4+b^5$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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> Hallo SinistresFlagellum!
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> Danke, mir geht es auch gut!
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> Nach dem binomischen Lehrsatz gilt
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> [mm](a+b)^5=\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}*a^k*b^{5-k}[/mm].
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> Den Ausdruck [mm]a^3*b^2\[/mm] erhalten wir nur für [mm]k=3\[/mm] und zwar
> genau [mm]10=\binom{5}{3}[/mm]-mal.
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> Insgesamt gilt
>
> [mm](a+b)^5=a^5+5*a^4*b+\blue{10*a^3*b^2}+10*a^2*b^3+5*a*b^4+b^5[/mm].
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> Gruß
> DieAcht
......
Ja, mir ist bewusst, was der Lehrsatz aussagt und ich ich ihn anweden kann.
Ich verstehe nur das kombinatorische Warum des Ganzen nicht.
Warum kommt unser Term [mm] a^{3}b^{2} [/mm] genau so oft vor wie es Möglichkeiten gibt aus 5 Objekten genau 2 (bzw. 3) Objekte auszuwählen?
Ich erkenne, dass die beiden Exponenten unseres Terms [mm] a^{3}b^{2} [/mm] das n und der höchste Exponent, also 5 bei [mm] (a+b)^{5}, [/mm] das m vorgeben könnten bei [mm] \vektor{m \\ n}.
[/mm]
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Was passiert wenn du das Produkt $(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)$ ausmultiplizierst? Du bekommst ganz viele Summanden, welche jeweils ein Produkt aus fünf Faktoren sind, bestehend aus $a$'s und $b$'s. Zum Beispiel ist [mm] $a^3b^2$ [/mm] ein solches Produkt. Beachte, dass der Exponent von $b$ immer schon durch den von $a$ festgelegt wird, da ihre Summe 5 sein muss. Wenn wir uns fragen, wie oft der Summand [mm] $a^3b^2$ [/mm] vorkommt, ist das also äquivalent zu der Frage, auf wie viele Weisen man fünf Faktoren so wählen kann, dass $3$mal $a$ vorkommt. Da gibt es [mm] $\binom{5}{3}$ [/mm] Möglichkeiten.
Kombinatorisch sieht man auch die Multinomialformel sofort ein:
[mm] $(a_1+\dots+a_n)^m=\sum_{k_1+\dots+k_n=m}\binom{m}{k_1,\dots,k_n}a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$. [/mm] Ich finde diese etwas allgemeinere Formel ist kombinatorisch sogar leichter nachzuvollziehen, weil sie "symmetrisch" in den [mm] $a_i$ [/mm] ist.
Natürlich kann man auch die binomische Formel symmetrisch aufschreiben:
[mm] $(a+b)^m=\sum_{j+k=n}\frac{n!}{j!*k!}a^jb^k$.
[/mm]
Häufig kann man damit sogar besser arbeiten.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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