Binomischer Lehrsatz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Franzi5 |
| Aufgabe | Beweise für n [mm] \in \IN [/mm] und x [mm] \in \IR:
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n}k*\vektor{n \\ k}*x^{k}*(1-x)^{n-k}=n*x [/mm] |
Wie gehe ich hier vor bei so einem Beweis? Ich soll scheinbar den Binomischen Lehrsatz anwenden.Der sieht ja ziemlich ähnlich aus.
würde mir denn jemand die einzelnen schreitte erklären, wie ich bei diesem beweis schematisch vorgehe. und ob man bei allen beweisen so vorgeht.Gibt es ein bestimmtes Schema?
Viele Grüße und vielen Dank,
Franzi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Beweise für n [mm]\in \IN[/mm] und x [mm]\in \IR:[/mm]
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> [mm]\summe_{k=0}^{n}k*\vektor{n \\ k}*x^{k}*(1-x)^{n-k}=n*x[/mm]
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> Wie gehe ich hier vor bei so einem Beweis?
Hallo,
Beweise gehen meist nicht "schnipp, da steht es", sondern man muß ein wenig herumprobieren, dies probieren, das probieren, viel Papier und Zeit verbrauchen, und am Ende hat man's dann.
> Ich soll
> scheinbar den Binomischen Lehrsatz anwenden.Der sieht ja
> ziemlich ähnlich aus.
Ich vermute auch, daß Du den benötigen wirst.
> würde mir denn jemand die einzelnen schreitte erklären,
> wie ich bei diesem beweis schematisch vorgehe.
Den Beweis zu finden ist ja Deine Aufgabe, und das oben beschriebene Probieren möchte ich Dir nicht wegnehmen...
Ich selbst würde zunächst dreierlei versuchen, ob man damit schon zum Ziel kommt, weiß ich aber nicht - ich hab's nicht gerechnet:
1.
[mm] \summe_{k=0}^{n}k*\vektor{n \\ k}*x^{k}*(1-x)^{n-k}=\summe_{k=0}^{n}k*\vektor{n \\ k}*x^{k}* [/mm] ( [mm] \summe_{i=1}^{n-k}\vektor{n-k \\ i}(-x)^{n-k-i})
[/mm]
2.
[mm] \summe_{k=0}^{n}k*\vektor{n \\ k}*x^{k}*(1-x)^{n-k}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{n}k*\vektor{n \\ k}*x^{k}*(1-x)^{n-k}
[/mm]
[mm] =1*\vektor{n \\ 1}*x^{1}*(1-x)^{n-1}+2*\vektor{n \\ 2}*x^{2}*(1-x)^{n-2}+3*\vektor{n \\ 3}*x^{3}*(1-x)^{n-3}+...+n*\vektor{n \\ n}*x^{n}*(1-x)^{n-n}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k}*x^{k}*(1-x)^{n-k} [/mm] + [mm] \summe_{k=2}^{n}\vektor{n \\ k}*x^{k}*(1-x)^{n-k}+\summe_{k=3}^{n}\vektor{n \\ k}*x^{k}*(1-x)^{n-k}+...+\summe_{k=n}^{n}\vektor{n \\ k}*x^{k}*(1-x)^{n-k}
[/mm]
3. Wegen der Binomialkoeffizienten vielleicht lästig, aber einen Versuch wert: Induktion.
> und ob man
> bei allen beweisen so vorgeht.Gibt es ein bestimmtes
> Schema?
Wenn Du ein Kochrezept zum Beweisen suchst: es gibt keins, und man kommt oft erst über lange Irrwege zum Ziel.
Wichtig ist, daß man sich allezeit klar macht, welches die Voraussetzungen sind, und was man zeigen möchte.
Im Laufe der Zeit wirst Du sehen, daß bei ähnlichen Aufgaben oft wiederkehrende "Tricks" verwendet werden, manches lernt man wirklich durch Übung.
Gruß v. Angela
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