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| Aufgabe | | Bestimmen SIe den Koeffizienten von [mm] wx^{4}y^{3}z [/mm] in (w + x + y+ [mm] z)^{9}. [/mm] |
Ich hab mir gedacht, ich nehm in diesem Fall den Polynomialkoeffizienten und hab dabei folgendes raus:
[mm] \vektor{9 \\ 1, 4, 3, 1} [/mm] = 504.
In dem Übungsheftchen hier steht aber als Lösung:
[mm] \vektor{9 \\ 1}\vektor{8 \\ 4}\vektor{4 \\ 3} [/mm] = 2520.
Kann mich hier jemand aufklären, warum das so ist und nicht wie in meiner Lösung ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen SIe den Koeffizienten von [mm]wx^{4}y^{3}z[/mm] in (w + x
> + y+ [mm]z)^{9}.[/mm]
> Ich hab mir gedacht, ich nehm in diesem Fall den
> Polynomialkoeffizienten und hab dabei folgendes raus:
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> [mm]\vektor{9 \\ 1, 4, 3, 1}[/mm] = 504.
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> In dem Übungsheftchen hier steht aber als Lösung:
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> [mm]\vektor{9 \\ 1}\vektor{8 \\ 4}\vektor{4 \\ 3}[/mm] = 2520.
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> Kann mich hier jemand aufklären, warum das so ist und
> nicht wie in meiner Lösung ?
Der ausgeklammerte Ausdruck setzt sich aus jeder möglichen Kombination, aus jeder Klammer genau einen Summanden zu nehmen und diese dann zu multiplizieren, zusammen. Dadurch entsteht ein ganzer haufen Produkte aus 9 Faktoren. Wir zählen die produkte, die die Gestalt [mm] wx^{4}y^{3}z [/mm] haben.
Es kommt genau ein w vor, dafür gibts 9 Klammern zur Auswahl. Insgesamt sind es dafür [mm] \vektor{9 \\ 1} [/mm] Möglichkeiten. Danach bleiben aber nur noch 8 Klammern zur Auswahl. Wir wollen als nächstes aus 4 Klammern die x haben. Dafür gibt es [mm] \vektor{8 \\ 4} [/mm] Möglichkeiten. Für die drei y verbleiben 4 Klammern zur Auswahl: [mm] \vektor{4 \\ 3} [/mm] Möglichkeiten. Und für das z am Ende bleibt nur eine Klammer: [mm] \vektor{1 \\ 1}=1 [/mm] Möglichkeit.
Das Endergebnis ist das Produkt von allen, da die Auswahlen 'unabhängig' sind.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
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