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| Aufgabe | Sei $X$ ein normierter Raum, [mm] $A\subset [/mm] X$ und
[mm] $A^o:=\{y\in X':|y(x)|\leq 1 \; \forall x\in A\}$ $A^{oo}:\{x\in X: |y(x)|\leq 1 \; \forall y\in A^o\}$
[/mm]
a) Beweisen sie, dass [mm] $\overline{A}\subset A^{oo}$.
[/mm]
b) Sei A die offene Einheitskugel oder ein linearer Teilraum von X. Beweisen sie, dass [mm] $\overline{A}=A^{oo}$. [/mm] |
Hallo nochmal!
Also zu b) hab ich mir noch keine Gedanken gemacht! Bei a) komm ich allerdings auch nicht so richtig voran:
Ich hab folgendes überlegt:
Sei [mm] $x\in \overline{A}$. [/mm] Dann gibt es eine Folge [mm] $(x_n)_n\subset [/mm] A$ mit [mm] $\lim\limits_{n\rightarrow\infty } x_n [/mm] =x$.
Sei [mm] $d:=\inf_{n\in \IN}\parallel x-x_n \parallel$. [/mm] Dann ist $d>0$ und nach einer Folgerung aus dem Fortsetzungssatz von Hahn Banach gibt es ein [mm] $\phi\in [/mm] X'$ so dass:
[mm] 1)$\phi(x_n)=0 \; \forall n\in\IN$
[/mm]
[mm] 2)$\phi(x)=1$
[/mm]
[mm] 3)$\parallel \phi\parallel [/mm] =1/d$
Daher ist [mm] $A^o$ [/mm] also nicht leer (da ja [mm] $\phi$ [/mm] in [mm] $A^o$).
[/mm]
Mein Problem ist nun, dass ich zeigen muss, dass für alle [mm] $f\in A^o$, $f\neq\phi$ [/mm] ebenfalls [mm] $|f(x)|\leq1$.
[/mm]
Wie mach ich das?
Gruß
Deuterinomium
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Mi 24.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]X[/mm] ein normierter Raum, [mm]A\subset X[/mm] und
>
> [mm]A^o:=\{y\in X':|y(x)|\leq 1 \; \forall x\in A\}[/mm]
> [mm]A^{oo}:\{x\in X: |y(x)|\leq 1 \; \forall y\in A^o\}[/mm]
>
> a) Beweisen sie, dass [mm]\overline{A}\subset A^{oo}[/mm].
> b) Sei A
> die offene Einheitskugel oder ein linearer Teilraum von X.
> Beweisen sie, dass [mm]\overline{A}=A^{oo}[/mm].
> Hallo nochmal!
>
> Also zu b) hab ich mir noch keine Gedanken gemacht! Bei a)
> komm ich allerdings auch nicht so richtig voran:
>
> Ich hab folgendes überlegt:
>
> Sei [mm]x\in \overline{A}[/mm]. Dann gibt es eine Folge
> [mm](x_n)_n\subset A[/mm] mit [mm]\lim\limits_{n\rightarrow\infty } x_n =x[/mm].
> Sei [mm]d:=\inf_{n\in \IN}\parallel x-x_n \parallel[/mm]. Dann ist
> [mm]d>0[/mm] und nach einer Folgerung aus dem Fortsetzungssatz von
> Hahn Banach gibt es ein [mm]\phi\in X'[/mm] so dass:
> 1)[mm]\phi(x_n)=0 \; \forall n\in\IN[/mm]
> 2)[mm]\phi(x)=1[/mm]
> 3)[mm]\parallel \phi\parallel =1/d[/mm]
Das verstehe ich jetzt nicht.
1. Wieso ist $d>0$? Da die Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] gegen x konvergiert, gibt es zu jedem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $N\in \IN$, [/mm] sodass [mm] $\parallel x-x_n \parallel<\varepsilon$ [/mm] für $n>N$. Daher muss $d=0$ sein.
2. Per Definition sind alle Elemente von $V'$ stetig, daher muss
[mm] \lim_{n\to\infty} \phi(x_n) = \phi(x) [/mm]
sein.
Idee: Wenn ich mich nicht irre, folgt aus der Definition, dass [mm] $A\subset A^{oo}$. [/mm] Da es zu jedem [mm] $x\in \overline{A}$ [/mm] eine Folge [mm](x_n)_n\subset A\subset A^{oo}[/mm] mit [mm]\lim\limits_{n\rightarrow\infty } x_n =x[/mm] gibt, heisst es, dass für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] und alle [mm] $y\in A^{o}$ [/mm] ist [mm] |y(x_n)|\le 1[/mm]. Du musst nun zeigen, dass für alle [mm] $y\in A^{o}$ [/mm] gilt: [mm] $|y(x)|\le [/mm] 1$.
Viele Grüße
Rainer
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