Biquadratische Gleichungen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi, Julchen,
> Ausserdem eine weitere Frage: allgemein wird eine
> biquadratische Gleichung ja als [mm]ax^{4}[/mm] + [mm]bx^{2}[/mm] + c = 0
> angegeben. Dabei muss ja a ungleich 0 sein ! Wie schaut es
> aber mit b und c aus ? Dürfen die gleich 0 sein ? Ist also
> beispielsweise [mm]5x^{4}[/mm] = 0 auch eine biquadratische
> Gleichung ? Oder [mm]x^{4}[/mm] - 7 = 0 ?
Wobei Du hier bereits zwei schöne Sonderfälle vorliegen hast:
[mm] 5x^{4} [/mm] = 0 hat die 4-fache Nullstelle [mm] x_{1/2/3/4} [/mm] =0.
[mm] x^{4} [/mm] - 7 = 0 hat aber nur die beiden ein(!)fachen Nullstellen, die Dir M.Rex bereits vorgerechnet hat.
Dass sie wirklich nicht etwa doppelt sind, erkennst Du an diesem - ähnlichen - Beispiel:
[mm] x^{4} [/mm] - 16 = 0
binomische Formel angewendet:
[mm] (x^{2} [/mm] - [mm] 4)(x^{2} [/mm] + 4) = 0
Während die zweite Klammer nicht weiter zerlegt werden kann, weil es für [mm] x^{2} [/mm] + 4 keine reellen Nullstellen gibt, enthält die erste Klammer wieder eine binomische Formel. Daher:
(x - 2)(x + [mm] 2)(x^{2} [/mm] + 4) = 0.
Ergo: Zwei 1-fache Nullstellen: [mm] x_{1}= [/mm] +2; [mm] x_{2} [/mm] = -2.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:37 Do 18.06.2009 | | Autor: | Julchen01 |
Danke für eure Hinweise !
Hat aber jetzt noch jemand irgendwelche praktischen, wissenschaftlichen, technischen, wirtschaftlichen (oder aus welchem Bereich auch immer) Anwendungen zu einer solchen Gleichung ?
VLG
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Kennt denn keiner irgendwelche praktischen Anwendungen dieser biquadratischen Gleichung ? Irgendeinen Nutzen muss das Ding doch haben ? :-((((
Hilfeeeeeeee ! Bitte 
LG
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Also ich habe die Butterworth-Charakteristik als ein Beispiel gefunden (mit einer google-Suche).
Ansonsten gibt es meiner Ansicht nach kein typisches Anwendungsgebiet. Bei geometrischen Fragestellungen kommt das halt ab und zu mal vor (Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks sowie Hypotenuse gegeben, Katheten gesucht).
Eigentlich sind die speziellen biquadratischen Gleichungen ein sehr einfaches Beispiel für das sehr wichtige Konzept der Substitution. Deswegen hängt man das halt an die Lösung quadratischer Gleichungen dran, weil das wirklich total simpel ist und man da die Chance sieht, dieses Basiskonzept zu vermitteln.
Wenn das Thema "Biquadratische Gleichungen" heißt, würde ich darauf eingehen und weitere Substitutionen nennen:
[mm] (x^2-4x+3)^2 [/mm] + [mm] x^2-4x+3 [/mm] + 8 = 0
Weiteres:
1. Du kannst viele Anwendungen auf eine solche Gleichung "reduzieren", in denen im Prinzip jede Art von Gleichung vorkommen kann. Also nach dem Motto "Der Term soundso beschreibt den Gewinn in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl. Wann hat man den Gewinn 0, wann 1000?" oder "Die Anzahl der Fliegen in der Küche in Abhängigkeit von der Zeit kann durch den Term soundso beschrieben werden. Zu welchen Zeiten ist keine Fliege da?"
Das führt eigentlich schon zum nächsten:
2. Die biquadratischen Terme kannst du als Funktionsterm betrachten, die dazu gehörige Gleichung mit =0 dann als Nullstellenberechnung. Diese Funktionen haben ein paar schöne Eigenschafen, wenn man sie untersucht (angefangen bei der Symmetrie).
Vielleicht bekommst du damit noch ein paar Anregungen . Achte nur noch darauf, was mit dem Begriff gemeint ist. Manche bezeichnen als biquadratisch nur die Gleichungen, wo [mm] x^4, x^2 [/mm] und Zahlen drin auftauchen, andere hängen den Begriff nur an den höchsten Exponenten, d.h. da dürfen auch [mm] x^3 [/mm] und [mm] x^1 [/mm] vorkommen. Letztere sind ein bisschen schwieriger zu lösen (allgemein), aber zumindest geht es noch .
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