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Bisektionsverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:17 Do 17.12.2009
Autor: az118

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion f(x) = ln(x)−cos(x). Bestimmen Sie mit Hilfe des Bisektionsverfahrens eine
Näherung für die Nullstelle x* von f im Intervall I0 := [1, 2].
Untersuchen Sie hierzu, ob die Bedingungen zur Anwendung des Bisektionsverfahrens erfüllt sind.
Führen Sie k Schritte des Verfahrens durch mit der Bedingung, dass x* vom Mittelpunkt des Intervalls
Ik um weniger als [mm] 10^{-2} [/mm] abweicht

Hallo,ich übe mich gerade in diesem Thema und habe die Aufgabe versucht. Wäre nett, wenn mal jemand rüber schauen könnte? Danke

Zuerst habe ich die Voraussetzung geprüft:
f(a)<0; f(b)>0
=> f(1)<0
=> f(2)>0
f(x) besitzt in dem Intervall also eine Nullstelle!

Dann habe ich die Schritte k berechnet,nach der man die gewünschte Abweichung erhält.
[mm] k>=(ln(2-1)-ln(2*10^{-2}))/ln(2) [/mm]
k>=5,6 =6

Und jetzt bestimme ich die neuen Intervalle.
I1=[1,3/2]
I2=[5/4,3/2]
I3=[5/4,11/8]
I4=[5/4,21/16]
I5=[5/4,41/16]
I6=[5/4,61/32]

        
Bezug
Bisektionsverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 Do 17.12.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Gegeben ist die Funktion f(x) = ln(x)−cos(x). Bestimmen
> Sie mit Hilfe des Bisektionsverfahrens eine
>  Näherung für die Nullstelle x* von f im Intervall I0 :=
> [1, 2].
>  Untersuchen Sie hierzu, ob die Bedingungen zur Anwendung
> des Bisektionsverfahrens erfüllt sind.
>  Führen Sie k Schritte des Verfahrens durch mit der
> Bedingung, dass x* vom Mittelpunkt des Intervalls
>  Ik um weniger als [mm]10^{-2}[/mm] abweicht
>  Hallo,ich übe mich gerade in diesem Thema und habe die
> Aufgabe versucht. Wäre nett, wenn mal jemand rüber
> schauen könnte? Danke
>  
> Zuerst habe ich die Voraussetzung geprüft:
>  f(a)<0; f(b)>0

    
(dürfte allenfalls auch umgekehrt sein !)

>  => f(1)<0

>  => f(2)>0

Ich würde die konkreten Funktionswerte aufschreiben,
um klarzustellen, dass dies nicht nur so hingekritzelt ist !

>  f(x) besitzt in dem Intervall also eine Nullstelle!
>  
> Dann habe ich die Schritte k berechnet,nach der man die
> gewünschte Abweichung erhält.
>  [mm]k>=(ln(2-1)-ln(2*10^{-2}))/ln(2)[/mm]
>  k>=5,6 =6
>  
> Und jetzt bestimme ich die neuen Intervalle.
>  I1=[1,3/2]
>  I2=[5/4,3/2]
>  I3=[5/4,11/8]
>  I4=[5/4,21/16]
>  I5=[5/4,41/16]
>  I6=[5/4,61/32]       [haee]

Dieses Intervall ist aber offensichtlich noch viel zu groß !

und:  müssen die Intervallgrenzen in Bruchform angegeben
werden ? - dies erschwert größenvergleiche erheblich ...


LG    Al-Chw.


Bezug
                
Bezug
Bisektionsverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:51 Do 17.12.2009
Autor: az118

denke nicht,dass die Intervalle in Brüche angegeben werden müssen.
da ich ja k =6 berechnet habe,höre ich ja aber bei I6 auf weiter zurechnen oder was war falsch?

Bezug
                        
Bezug
Bisektionsverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:03 Do 17.12.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> denke nicht,dass die Intervalle in Brüche angegeben werden
> müssen.
>  da ich ja k =6 berechnet habe,höre ich ja aber bei I6 auf
> weiter zurechnen oder was war falsch?


Eigentlich sollte die Länge des Intervalls doch bei
jedem Schritt halbiert werden, was aber bei deinen
Intervallen keineswegs der Fall ist:

                     Länge

I1=[1,3/2]           0.5
I2=[5/4,3/2]         0.25
I3=[5/4,11/8]        0.125
I4=[5/4,21/16]       0.0625
I5=[5/4,41/16]       1.3125         [notok]   viel zu groß !
I6=[5/4,61/32]       0.65625


LG     Al-Chw.


Bezug
                                
Bezug
Bisektionsverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:03 Fr 18.12.2009
Autor: az118

Ok, ich habe es nochmal nach gerechnet und mein Fehler gefunden.

bis zu I4 war es ja richtig
I5=[41/32,21/16]  =  0,03125
I6=[83/64,21/16]  =  0,015625

Stimmen die Lösungen jetzt alle?

Bezug
                                        
Bezug
Bisektionsverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:54 Fr 18.12.2009
Autor: MathePower

Hallo az118,

> Ok, ich habe es nochmal nach gerechnet und mein Fehler
> gefunden.
>  
> bis zu I4 war es ja richtig
>  I5=[41/32,21/16]  =  0,03125
>  I6=[83/64,21/16]  =  0,015625
>  
> Stimmen die Lösungen jetzt alle?


Ja. [ok]


Gruss
MathePower

Bezug
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