Bivariate elliptical distrib. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:48 So 09.12.2012 | | Autor: | vank |
| Aufgabe | | Beweis: bivariate Normalverteilung ist eine elliptische Verteilung. Gesucht funktion g, wobei: [mm] f(x_{1}, x_{2}) [/mm] $ = $ [mm] g(\wurzel{x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}}) [/mm] (siehe Aufgabe: Elliptical distribution). |
Wie kann man dies am einfachsten zeigen? Wäre die t-Verteilung ein anderes Beispiel für eine bivariate elliptical distr.? Gibt es noch andere bivariate ellipt. Verteilungen?
Danke und Gruß,
vank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Fr 21.12.2012 | | Autor: | vank |
Ich bin weiterhin an einer Antwort interessiert.
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Hiho,
die Frage ist, was soll f sein, was soll g sein?
Ich schieß jetzt mal ins Blaue und vermute, f soll die Verteilungsdichte sein.
Dann schreib doch einfach mal die Verteilungsdichte einer bivariaten Normalverteilung hin!
Dann kannst du dein g doch direkt ablesen!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Sa 22.12.2012 | | Autor: | vank |
Hi,
super, danke schön! Ich hab's, es müsste [mm] 1/2\pi*exp(z) [/mm] sein :)
Könntest Du Dir bitte noch eine Aufgabe aus diesem Bereich anschauen, und zwar: "Elliptical distribution" (auch von mir gepostet)? Danke im Voraus und Gruß, vank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 So 23.12.2012 | | Autor: | luis52 |
> Hi,
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> super, danke schön! Ich hab's, es müsste [mm]1/2\pi*exp(z)[/mm]
> sein :)
Moin,
die Dichte der bivariaten Normalverteilung ist im allgmeinen Fall gegegen
durch
$f(x,y) = [mm] \frac{1}{2 \pi \sigma_x \sigma_y \sqrt{1-\rho^2}} \exp\left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[ \frac{(x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2} + \frac{(y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2} - \frac{2\rho(x-\mu_x)(y-\mu_y)}{\sigma_x \sigma_y} \right] \right)$
[/mm]
Ich sehe zunaechst einmal nicht, wie da deine Loesung hier passen sollte.
Gut, nehmen wir einmal an, es wurden Informationen zur Aufgabenstellung nicht mitgeteiilt und arbeiten mit der Annahme [mm] $\mu_x=\mu_y=0$, $\sigma_x^2=\sigma_y^2=1$ [/mm] und [mm] $\rho=0$. [/mm] Auch dann stimmt deine Loesung nicht. Es muss wohl heissen
[mm] $g(z)=\frac{1}{2\pi}\exp\left(\red{-\dfrac{z^2}{2}}\right)$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 So 23.12.2012 | | Autor: | vank |
Hi Luis,
die Dichte der bivariaten Normalverteilung ist im allgmeinen Fall gegegen
durch
$ f(x,y) = [mm] \frac{1}{2 \pi \sigma_x \sigma_y \sqrt{1-\rho^2}} \exp\left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[ \frac{(x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2} + \frac{(y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2} - \frac{2\rho(x-\mu_x)(y-\mu_y)}{\sigma_x \sigma_y} \right] \right) [/mm] $
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Ja, das stimmt.
Ich sehe zunaechst einmal nicht, wie da deine Loesung hier passen sollte.
Gut, nehmen wir einmal an, es wurden Informationen zur Aufgabenstellung nicht mitgeteiilt und arbeiten mit der Annahme $ [mm] \mu_x=\mu_y=0 [/mm] $, $ [mm] \sigma_x^2=\sigma_y^2=1 [/mm] $ und $ [mm] \rho=0 [/mm] $. Auch dann stimmt deine Loesung nicht. Es muss wohl heissen
$ [mm] g(z)=\frac{1}{2\pi}\exp\left(\red{-\dfrac{z^2}{2}}\right) [/mm] $.
###
Die Aufgabenstellung ist die gleiche, wie in der Aufgabe "Elliptical distribution", nur hier lautet die Frage:
"Zeigen Sie, dass die bivariate Normalverteilung eine elliptische Verteilung ist, und geben Sie die Funktion g an."
Ich habe die Antwort auf die Frage im Buch von Schmid gefunden. Da steht nämlich: Sei [mm] \summe [/mm] eine symmetrische und positiv definite nxn Matrix und [mm] \mu \in\IR^n [/mm] ein Vektor. Der Zufallsvektor [mm] X=(X_{1}, X_{2}, [/mm] ... [mm] X_{n})' [/mm] heißt elliptisch verteilt, falls seine gemeinsame Dichte von der Form
f(x) = [mm] |\summe|^{-1/2} g((x-\mu)'(\summe)^{-1} (x-\mu)) [/mm] ist, mit x [mm] \in R^n. [/mm]
Eine d-variat normalverteilte Zufallsvariable X besitzt eine Dichte :
f(x) = [mm] \bruch{1}{((2\pi)^(d/2)(det(\summe)^(-1/2)}*exp(-1/2(x-\mu)'(\summe)^{-1} (x-\mu))
[/mm]
Dann steht im Schmid weiterhin: Die multivariate Normalverteilung ist selbst eine elliptische Verteilung mit einem Dichtegenerator:
g(z) = [mm] (2\pi)^{-n/2}exp(-1/2z)
[/mm]
Dann müsste es so sein, wie Du schreibst, aber mit z statt [mm] z^2. [/mm] Oder sehe ich das falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 So 23.12.2012 | | Autor: | luis52 |
> Eine d-variat normalverteilte Zufallsvariable X besitzt
> eine Dichte :
>
> f(x) =
> [mm]\bruch{1}{((2\pi)^(d/2)(det(\summe)^(-1/2)}*exp(-1/2(x-\mu)'(\summe)^{-1} (x-\mu))[/mm]
>
> Dann steht im Schmid weiterhin: Die multivariate
> Normalverteilung ist selbst eine elliptische Verteilung mit
> einem Dichtegenerator:
>
> g(z) = [mm](2\pi)^{-n/2}exp(-1/2z)[/mm]
>
> Dann müsste es so sein, wie Du schreibst, aber mit z statt
> [mm]z^2.[/mm] Oder sehe ich das falsch?
Reden wir ueber eine $d$-variat normalverteilte Zufallsvariable oder ueber $n$-variat normalverteilte Zufallsvariable? Im letzteren Fall stimmt's.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:17 So 23.12.2012 | | Autor: | vank |
Reden wir ueber eine $ d $-variat normalverteilte Zufallsvariable oder ueber $ n $-variat normalverteilte Zufallsvariable? Im letzteren Fall stimmt's.
Wir reden über eine bivariat normalverteilte Zufallsvariable. Den Buchstaben "d" für d-variat kann man doch für "n" umtauschen, oder? Egal, ob d oder n, es müsste ja d=n=2 sein.
Guckst Du Dir bitte noch einmal den ersten Teil der Aufgabe "Elliptical distribution" (auch von mir) an?
Danke und Gruß,
vank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:40 So 23.12.2012 | | Autor: | luis52 |
> Guckst Du Dir bitte noch einmal den ersten Teil der Aufgabe
> "Elliptical distribution" (auch von mir) an?
>
Tut mir Leid, daran traue ich mich nicht. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 Do 27.12.2012 | | Autor: | vank |
Gibt es hier wirklich keinen, der mir helfen könnte?
Grüße,
vank
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