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| Aufgabe | Sei K ein Körper und A = [mm] \pmat{ 1 & A_{1,2} \\ 0 & B } \in K^{n,n}, [/mm] wobei B [mm] \in K^{n-1,n-1} [/mm] sei. Zeigen Sie, dass gilt:
A [mm] \in GL_{n}(K) [/mm] genau dann, wenn B [mm] \in GL_{n-1}(K). [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo liebes Forum =) ,
also ich könnte echt eure Hilfe gebrauchen.
Erstmal habe ich n=4 gewählt, damit ich mir die Matrix A besser vorstellen kann.
A = [mm] \pmat{ \pmat{ 1 } & \pmat{ a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} } \\ \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 } & \pmat{ b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3} \\ b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3} \\ b_{3,1} & b_{3,2} & b_{3,3} } }
[/mm]
Ich habe gefunden, dass A invertierbar ist, genau dann wenn [mm] \pmat{ 1 } [/mm] und B invertierbar sind, aber wieso weshalb warum, das weiß ich nicht. Außerdem verstehe ich nicht, wie ich zeigen soll, dass [mm] \pmat{ 1 } [/mm] invertierbar ist, weil das würde ja bedeuten, dass [mm] \pmat{ 1 }^{-1} [/mm] * [mm] \pmat{ 1 } [/mm] = [mm] I_{1}, [/mm] also die Einheitsmatrix. Wie sieht jedoch eine Einheitsmatrix aus , die nur aus einem Element besteht?
Es wäre nett, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte, wie man diese Aufgabe bewältigen kann.
Liebe Grüße
Milchschelle
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Hallo,
hattet ihr schon Determinanten? Falls ja, dann versuche mal, die Determinanten von A nach der ersten Spalte zu entwickelen. Was bekommst du da raus?
Falls ihr noch keine Determinanten hattet: Welche Kriterien für die Invertierbarkeit von Matrizen hattet ihr schon?
Viele Grüße
Blasco
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Also Determinanten hatten wir noch nicht, aber kann man das mit dem Rang machen?
Wenn eine matrix invertierbar ist hat sie vollen Rang und andersrum. Das weiß ich schon mal.
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> Also Determinanten hatten wir noch nicht, aber kann man das
> mit dem Rang machen?
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> Wenn eine matrix invertierbar ist hat sie vollen Rang und
> andersrum. Das weiß ich schon mal.
Das ist schon mal richtig.
Versuche mal zu zeigen: $rang(A)=1+rang(B)$
Wenn du das hast, bist schon mal ein großes Stück weiter.
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