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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 So 09.10.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Die Übertragungsfunktion lautet:
[mm] H_{4}(j\omega)= \frac{1}{1+ \frac{j\omega}{\alpha}}
[/mm]
Nun soll ich die Phase berechnen und anschließend diese zeichnen. |
Komme nicht auf die richtige Lösung. An einer Stelle kann ich die Musterlösung nicht nachvollziehen.
Habe erstmal versucht die Aufgabe zu lösen.
Laut meinen Aufzeichnungen ist die Phase so definiert:
[mm] \phi(\omega) [/mm] = arctan [mm] \frac{Im{H(j \omega)}}{Re{H(j\omega)}} [/mm] für [mm] Re{H(j\omega) \ge 0}
[/mm]
Nun zerlege ich meine Übertragungsfuktion in Realteil und Imaginärteil:
Übertragungsfunktion:
[mm] H_{4}(j\omega)= \frac{1}{1+ \frac{j\omega}{\alpha}}
[/mm]
Re = 1
Im = [mm] \frac{1}{\frac{\omega}{\alpha}}
[/mm]
Demnach folgt für die Phase:
[mm] \phi(\omega) [/mm] = arctan [mm] \frac{1}{\frac{\omega}{\alpha}} [/mm] = arctan [mm] \frac{\alpha}{\omega}
[/mm]
Nun stimmt meine Lösung nicht mit der Musterlösung überein.
Wieso?
Hier die Musterlösung:
[mm] \phi(\omega)= (\frac{1}{1+j\frac{\omega}{\alpha}}) [/mm] = [mm] (\frac{1-j\frac{\omega}{\alpha}}{1+(\frac{\omega}{\alpha})^{2}}) [/mm] = [mm] arctan(-\frac{\omega}{\alpha}) [/mm] = [mm] -arctan(\frac{\omega}{\alpha})
[/mm]
So wie ich das sehe, macht man in der Musterlösung erstmal den Nenner reell, sodass die komplexe Zahl im Zähler steht. Wie man das macht habe ich verstanden. (Nenner mit der komplexkonjugierten multiplizieren)
Frage: Muss man das immer so machen?
Nun soll ich [mm] \phi [/mm] = [mm] -arctan(\frac{\omega}{\alpha}) [/mm] zeichnen.
Laut musterlösung liegt die Funktion komplett unter der [mm] \omega [/mm] Achse und hat einen Wendepunkt im Punkt [mm] (\alpha [/mm] / [mm] -\pi/4).
[/mm]
Wie zeichnet man denn so eine Funktion?
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> Die Übertragungsfunktion lautet:
>
> [mm]H_{4}(j\omega)= \frac{1}{1+ \frac{j\omega}{\alpha}}[/mm]
>
> Nun soll ich die Phase berechnen und anschließend diese
> zeichnen.
> Komme nicht auf die richtige Lösung. An einer Stelle kann
> ich die Musterlösung nicht nachvollziehen.
>
> Habe erstmal versucht die Aufgabe zu lösen.
>
> Laut meinen Aufzeichnungen ist die Phase so definiert:
> [mm]\phi(\omega)[/mm] = arctan [mm]\frac{Im{H(j \omega)}}{Re{H(j\omega)}}[/mm]
> für [mm]Re{H(j\omega) \ge 0}[/mm]
>
> Nun zerlege ich meine Übertragungsfuktion in Realteil und
> Imaginärteil:
hallo,
du kannst erst nach dem "realmachen" des nenners in real- und imaginärteil aufsplitten. was du hier machst, ist käse
> Übertragungsfunktion:
> [mm]H_{4}(j\omega)= \frac{1}{1+ \frac{j\omega}{\alpha}}[/mm]
> Re =
> 1
> Im = [mm]\frac{1}{\frac{\omega}{\alpha}}[/mm]
>
> Demnach folgt für die Phase:
> [mm]\phi(\omega)[/mm] = arctan [mm]\frac{1}{\frac{\omega}{\alpha}}[/mm] =
> arctan [mm]\frac{\alpha}{\omega}[/mm]
>
> Nun stimmt meine Lösung nicht mit der Musterlösung
> überein.
> Wieso?
>
> Hier die Musterlösung:
> [mm]\phi(\omega)= (\frac{1}{1+j\frac{\omega}{\alpha}})[/mm] =
> [mm](\frac{1-j\frac{\omega}{\alpha}}{1+(\frac{\omega}{\alpha})^{2}})[/mm]
> = [mm]arctan(-\frac{\omega}{\alpha})[/mm] =
> [mm]-arctan(\frac{\omega}{\alpha})[/mm]
>
> So wie ich das sehe, macht man in der Musterlösung erstmal
> den Nenner reell, sodass die komplexe Zahl im Zähler
> steht. Wie man das macht habe ich verstanden. (Nenner mit
> der komplexkonjugierten multiplizieren)
> Frage: Muss man das immer so machen?
jo
>
> Nun soll ich [mm]\phi[/mm] = [mm]-arctan(\frac{\omega}{\alpha})[/mm]
> zeichnen.
> Laut musterlösung liegt die Funktion komplett unter der
> [mm]\omega[/mm] Achse und hat einen Wendepunkt im Punkt [mm](\alpha[/mm] /
> [mm]-\pi/4).[/mm]
> Wie zeichnet man denn so eine Funktion?
naja, für omega setzt man die werte 0, [mm] \infty [/mm] und [mm] \alpha [/mm] ein, daraus ist dann ein asymptotischer phasengang skizzierbar
>
gruß tee
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> Laut meinen Aufzeichnungen ist die Phase so definiert:
> [mm]\phi(\omega)[/mm] = arctan [mm]\frac{Im{H(j \omega)}}{Re{H(j\omega)}}[/mm]
> für [mm]Re{H(j\omega) \ge 0}[/mm]
>
> Nun zerlege ich meine Übertragungsfuktion in Realteil und
> Imaginärteil:
> Übertragungsfunktion:
> [mm]H_{4}(j\omega)= \frac{1}{1+ \frac{j\omega}{\alpha}}[/mm]
schau mal in dein skript ;) du musst hier erweitern damit du real und imaginärteil angeben kannst
> Re =
> 1
> Im = [mm]\frac{1}{\frac{\omega}{\alpha}}[/mm]
>
LG Scherzkrapferl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Mo 10.10.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo zoj,
mit dem Reellmachen des Nenners bist Du auf der sicheren Seite der Rechnung, es geht aber auch direkter, wenn Du Dir überlegst, dass der Zähler eines Bruchs die Phase vergrößert, der Nenner dagegen verkleinert.
Für einen komplexen Ausdruck
[mm] \bruch{a + jb}{c+jd} [/mm] bekommst Du dann für den Phasenausdruck
[mm] \varphi = \arctan(\bruch{b}{a}) - \arctan (\bruch{d}{c}) [/mm]
So kommst Du in einer Zeile zu Deinem Ergebnis:
[mm] \varphi = \arctan(\bruch{0}{1}) - \arctan (\bruch{\bruch{\omega}{\alpha}}{1}) [/mm]
Der erste Term liefert den Wert 0 und es bleibt übrig
[mm] \varphi = - \arctan(\bruch{\omega}{\alpha}) [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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