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| Aufgabe | ursprüngliches Signal:
[mm] f(x)=e^{-(x-1300)^2}
[/mm]
verzerrtes Signal:
[mm] g_{a,b}(x)=\begin{cases} a(x-b)^2*e^{-(x-b)}, & \mbox{für } x\ge1298 \\ 0, & \mbox{für } x<1298\end{cases}
[/mm]
Vergleichen Sie den Energieinhalt des verzerrten Signals mit dem Energieinhalt
des Ausgangssignals. Wie viel Prozent der Ausgangsenergie sind noch
vorhanden? (7 Punkte)
Anleitung:
- Weisen Sie nach, dass die gesamte Ausgangs-Energie gilt:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \wurzel{\pi}
[/mm]
Dazu können Sie das Ergebnis für das Gaußsche Fehler-Integral
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-0.5x^2} dx} [/mm] = [mm] \wurzel{2\pi}
[/mm]
und die Substitutionsregel verwenden.
Berechnen Sie in einem nächsten Schritt die prozentual verbleibende Energie
(Beachten Sie bei der Integration: g(x) = 0 für x < 1298).
Falls Sie in Aufgabe 1.5 zu keinen Werten gekommen sind, rechnen Sie mit
den Werten a = 0,739 und b = 1298 weiter. |
1. Frage was ist das Gaussche Fehlerintegral? und was kann man damit so anstellen
2. Hab mich an einer Lösung versucht kann aber nicht ganz stimmen, wo liegt der Fehler?
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-(x-1300)^2}dx} [/mm] = [mm] \wurzel{\pi}
[/mm]
[mm] z=-(x-1300)^2
[/mm]
$z'=-2(x-1300)$
[mm] dx=\bruch{dz}{-2(x-1300)}
[/mm]
x = [mm] \wurzel{-z}+1300
[/mm]
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{e^z}{-2\wurzel{-z}}dz} [/mm] = [mm] \wurzel{\pi}
[/mm]
[mm] u=\wurzel{-z}
[/mm]
[mm] u'=-\bruch{1}{2\wurzel{z}}
[/mm]
[mm] dz=\bruch{du}{-\bruch{1}{2\wurzel{z}}}=-2\wurzel{z}du
[/mm]
$z = [mm] -u^2$
[/mm]
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{-2\wurzel{-u^2}e^{-u^2} dz} [/mm] = [mm] \wurzel{\pi}
[/mm]
[mm] 2*\integral_{-\infty}^{\infty}{u^2*e^{-u^2} dz} [/mm] = [mm] \wurzel{\pi}
[/mm]
[mm] w=-u^2
[/mm]
$w'=-2u$
[mm] du=\bruch{dw}{-2u}
[/mm]
[mm] -1*\integral_{-\infty}^{\infty}{e^w dw} [/mm] = [mm] \wurzel{\pi}
[/mm]
und da kann ja was nicht stimmen, kann mir einer paar tipps geben? Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 Mi 04.03.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ursprüngliches Signal:
> [mm]f(x)=e^{-(x-1300)^2}[/mm]
>
> verzerrtes Signal:
> [mm]g_{a,b}(x)=\begin{cases} a(x-b)^2*e^{-(x-b)}, & \mbox{für } x\ge1298 \\ 0, & \mbox{für } x<1298\end{cases}[/mm]
>
> Vergleichen Sie den Energieinhalt des verzerrten Signals
> mit dem Energieinhalt
> des Ausgangssignals. Wie viel Prozent der Ausgangsenergie
> sind noch
> vorhanden? (7 Punkte)
> Anleitung:
> - Weisen Sie nach, dass die gesamte Ausgangs-Energie
> gilt:
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}[/mm] = [mm]\wurzel{\pi}[/mm]
> Dazu können Sie das Ergebnis für das Gaußsche
> Fehler-Integral
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-0.5x^2} dx}[/mm] =
> [mm]\wurzel{2\pi}[/mm]
> und die Substitutionsregel verwenden.
>
> Berechnen Sie in einem nächsten Schritt die prozentual
> verbleibende Energie
> (Beachten Sie bei der Integration: g(x) = 0 für x <
> 1298).
>
> Falls Sie in Aufgabe 1.5 zu keinen Werten gekommen sind,
> rechnen Sie mit
> den Werten a = 0,739 und b = 1298 weiter.
> 1. Frage was ist das Gaussche Fehlerintegral? und was kann
> man damit so anstellen
Das kannst du überall nachlesen, zum Beispiel ![[]](/images/popup.gif) in der Wikipedia.
> 2. Hab mich an einer Lösung versucht kann aber nicht ganz
> stimmen, wo liegt der Fehler?
>
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-(x-1300)^2}dx} = \wurzel{\pi}[/mm]
Das ist richtig, aber sollt du nicht erst noch ausrechnen, dass [mm] $\sqrt{\pi}$ [/mm] herauskommt?
>
> [mm]z=-(x-1300)^2[/mm]
> [mm]z'=-2(x-1300)[/mm]
> [mm]dx=\bruch{dz}{-2(x-1300)}[/mm]
> x = [mm]\wurzel{-z}+1300[/mm]
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{e^z}{-2\wurzel{-z}}dz}[/mm]
> = [mm]\wurzel{\pi}[/mm]
>
> [mm]u=\wurzel{-z}[/mm]
> [mm]u'=-\bruch{1}{2\wurzel{z}}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] u' = -\bruch{1}{2\wurzel{-z}}[/mm]
> [mm]dz=\bruch{du}{-\bruch{1}{2\wurzel{z}}}=-2\wurzel{z}du[/mm]
[mm] dz = -2\wurzel{-z}du[/mm]
> [mm]z = -u^2[/mm]
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{-2\wurzel{-u^2}e^{-u^2} dz}[/mm] =
Da hast du den Nenner [mm] $-2\wurzel{-z}$ [/mm] verschlampt.
Deine Substitutionen ergeben zusammen $u=x-1300$, also das Integral:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-u^2}dx}[/mm]
Also musst du zeigen, dass dieses Integral [mm] $=\sqrt{\pi}$ [/mm] ist.
Überlege dir, wie du dieses Integral auf das Fehlerintegral zurückführen kannst. Es ist eine ganz einfache Substitution.
Viele Grüße
Rainer
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>>Deine Substitutionen ergeben zusammen $ u=x-1300 $, also das Integral:
>>$ [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-u^2}dx} [/mm] $
>>Also musst du zeigen, dass dieses Integral $ [mm] =\sqrt{\pi} [/mm] $ ist.
Ne, da häng ich irgendwie. Kann mir das kurz einer erklären?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Do 05.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo DrNetwork!
Da wurde Dir doch schon dieser Link genannt, in welchem das Integral gelöst wird.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:49 Do 05.03.2009 | | Autor: | DrNetwork |
Vielen Dank, aber so ganz hat mir das nicht weitergeholfen... :)
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> Vielen Dank, aber so ganz hat mir das nicht
> weitergeholfen... :)
Hallo,
da Du diese Mitteilung als Frage eingestellt hast, gehe ich davon aus, daß Du Dir weitere Hilfe wünschst.
Du solltest nun mal erklären, wie weit Du die Berechnung im Link nachvollziehen konntest, und wo es hakt.
(Nützlich wäre auch ein Eintrag in Deinem Profil. Du postest im Schulforum, mich dünkt jedoch, daß Deine Frage hier thematisch nicht ganz paßt. ist das für eine facharbeit, oder worum geht es?)
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:13 Do 05.03.2009 | | Autor: | DrNetwork |
> Du solltest nun mal erklären, wie weit Du die Berechnung im
> Link nachvollziehen konntest, und wo es hakt.
ich weiss noch nicht mal so genau welche Rechnung da gemeint ist.
> (Nützlich wäre auch ein Eintrag in Deinem Profil. Du
> postest im Schulforum, mich dünkt jedoch, daß Deine Frage
> hier thematisch nicht ganz paßt. ist das für eine
> facharbeit, oder worum geht es?)
Ne ist eine Vorschlag für die Abitur Klausur.
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> ursprüngliches Signal:
> [mm]f(x)=e^{-(x-1300)^2}[/mm]
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}[/mm] = [mm]\wurzel{\pi}[/mm]
> Dazu können Sie das Ergebnis für das Gaußsche
> Fehler-Integral
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-0.5x^2} dx}[/mm] =
> [mm]\wurzel{2\pi}[/mm]
> und die Substitutionsregel verwenden.
>
> 1. Frage was ist das Gaussche Fehlerintegral? und was kann
> man damit so anstellen
Hallo,
ein bißchen dazu steht ja in dem Link.
Ich hatte nicht erkannt, daß Du überhaupt nicht [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2} dx} [/mm] selbst berechnen mußt, daher mein Hinweis auf die Rechnung im Link.
Da Du verwenden darfst, daß
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-0.5x^2} dx}[/mm] = [mm]\wurzel{2\pi}[/mm]
gilt,
wäre doch eine Substitution, bei welcher [mm] 0.5t^2=(x-1300)^2 [/mm] ist, verlockend.
Also
[mm] t=\bruch{x-1300}{\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] dt=\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] dx
ergibt???
> 2. Hab mich an einer Lösung versucht kann aber nicht ganz
> stimmen, wo liegt der Fehler?
Es hatte Dich rainer ja schon auf eine Fehler hingewiesen.
Versuch es jetzt doch mal mit dem vorgeschlagenen Weg.
Ich hoffe, daß ich nun die richtige Frage beantwortet habe, und keine beantwortete oder nie gestellte.
Gruß v. Angela
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Achso vielen Dank! So meinten die das in Ordung.
Würd es dir was ausmachen, die Integration davon trotzdem zu erklären? Würd mich sehr dafür interessieren!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Do 05.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du willst einen Integranden [mm] e^{-0.5u^2}
[/mm]
Du hast einen Integranden [mm] e^{-(x-300)^2} [/mm] oder so aehnlich
was ist naheliegender als die Substitution [mm] 0.5u^2=(x-300)^2
[/mm]
oder u=...
man sollte immer direkt auf das Ziel zuarbeiten statt sich durch endlose Substitutionen zu quälen.
Und da du substituieren kannst sollte das ein Kinderspiel sein.
Gruss leduart
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> Achso vielen Dank! So meinten die das in Ordung.
>
> Würd es dir was ausmachen, die Integration davon trotzdem
> zu erklären? Würd mich sehr dafür interessieren!
Hallo,
in dem Wikilink steht das unten bei "Normierung".
Der Trick ist, daß man das Quadrat des Integrals berechnest, was über ein Flächenintegral geschieht.
Durch Übergang zu Polarkoordinaten kommt man dann an die Lösung.
Ich denke, um dies zu verstehen, müßte man sich zunächst ein bißchen mit Flächenintegralen in auch mit den Koordinatentransformationen befaßt haben.
Wenn man Palarkoordinaten verwendet, geht dxdy in [mm] r*drd\varphi [/mm] über, und dies ist es, was das Ding dann integrierbar macht.
Gruß v. Angela
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