Bogenlänge Kardioide < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man bestimmte die Bogenlänge der Kardioide mit der Parametrisierung [mm]\gamma : [0, 2\pi] \to \IR ^2 mit \gamma (t) := \begin{pmatrix} (1+cos(t))cos(t) \\ (1+cos(t))sin(t) \end{pmatrix}[/mm] |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Mein Endergebnis ist 0... da kann also irgendetwas nicht stimmen. Hier mal meine Zwischenergebnisse:
[mm]
\dot \gamma (t) = \begin{pmatrix} -sin(t)cos(t)-(1+cos(t))sin(t) \\ -sin^2(t)+(1+cos(t))sin(t) \end{pmatrix}
\left| \dot \gamma (t) \right| = \wurzel{2} \wurzel{1+cos(t)}
\integral_{0}^{2\pi} \wurzel{2} \wurzel{1+cos(t)}\, dt = \wurzel{8} \left[ \wurzel{1-cos(t)} \right]_{0}^{2 \pi}
[/mm]
nach dem Einsetzen der Grenzen kommt dann 0 raus... wo liegt jetzt mein Fehler?
Danke!
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Deine Stammfunktion ist nur für [mm]t \in [0,\pi][/mm] korrekt.
Ein paar Ergänzungen.
Dein Integrand ist unnötig kompliziert. Es gilt nämlich
[mm]\sqrt{2 \, ( 1 + \cos t )} = 2 \left| \cos \frac{t}{2} \right|[/mm]
Und so erzwingt die Berechnung des Integrals eine Fallunterscheidung für die Intervalle [mm][0,\pi][/mm] und [mm][\pi,2 \pi][/mm].
Alternativ kann man auch versuchen, eine auf ganz [mm][0 , 2 \pi][/mm] gültige Stammfunktion anzugeben. Das wäre etwa
[mm]F(t) = 4 \left( 1 - \sin \frac{t}{2} \right) \cdot \operatorname{sgn}( t - \pi ) \, , \ \ t \in [0, 2 \pi][/mm]
worin [mm]\operatorname{sgn}[/mm] die Signumfunktion bezeichne (die für positive Eingaben 1, für negative Eingaben -1 und für Null 0 zurückgibt).
Und noch einfacher geht es. Niemand zwingt einen, die Kurve über das Intervall [mm][0 , 2 \pi][/mm] zu parametrisieren. Man könnte ebensogut [mm][ - \pi , \pi ][/mm] nehmen. Dann ist man allen Ärger mit Fallunterscheidungen los, da [mm]\cos \frac{t}{2}[/mm] über diesem Intervall keine negativen Werte annimmt. Betragsstriche können also entfallen.
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