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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Bogenlänge Schraubenlinie
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Bogenlänge Schraubenlinie: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:52 Fr 01.06.2012
Autor: heinze

Aufgabe
[mm] $\gamma: [0,2\pi]\to \IR, t\to \vektor{\cos t \\ \sin t \\ \bruch{1}{2\pi}t}$ [/mm] ist ein Schraubenlinienstück.

Bestimme die Bogenlänge und skizziere das Schraubenlinienstück.


f'(t)= [mm] \vektor{-sint \\ cost \\ \bruch{1}{2\pi}} [/mm]

[mm] |f'(t)|)=\wurzel{(-sint)^2+(cost)^2+(\bruch{1}{2\pi})^2} [/mm]

= [mm] \bruch{1}{2\pi} [/mm]

[mm] \integral_{0}^{2\pi}\bruch{1}{2\pi}dt =\integral_{0}^{\pi}\bruch{1}{2\pi}dt +\integral_{\pi}^{2\pi}\bruch{1}{2\pi}dt [/mm]

richtig so? Und dann nur noch einsetzen und ausrechnen? Das erscheint mir allerdings nicht ganz richtig so. Wo liegt der Fehler?

Problem 2: Wie zeichne ich so eine Kurve in Intervall [mm] [0,2\pi]? [/mm]  Im mehrdimensionalen zu zeichnen fällt mir noch ewas schwer.


LG
heinze

        
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Bogenlänge Schraubenlinie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:12 Fr 01.06.2012
Autor: schachuzipus

Hallo heize,


> [mm]\gamma: [0,2\pi]\to \IR, t\to \vektor{cost \\ sint \\ \bruch{1}{2\pi}t}[/mm]
> ist ein Schraubenlinienstück.
>  
> Bestimme die Bogenlänge und Skizziere das
> Schraubenlinienstück.
>  f'(t)= [mm]\vektor{-sint \\ cost \\ \bruch{1}{2\pi}}[/mm] [ok]

Oben hieß die Funktion noch [mm]\gamma[/mm], aber egal ...

>  
> [mm]|f'(t)|)=\wurzel{(-sint)^2+(cost)^2+(\bruch{1}{2\pi})^2}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{1}{2\pi}[/mm]

??

Das ist doch [mm]\sqrt{1+\left(\frac{1}{2\pi}\right)^2}[/mm]

> [mm]\integral_{0}^{2\pi}\bruch{1}{2\pi}dt =\integral_{0}^{\pi}\bruch{1}{2\pi}dt +\integral_{\pi}^{2\pi}\bruch{1}{2\pi}dt[/mm]
>
> richtig so? Und dann nur noch einsetzen und ausrechnen? Das
> erscheint mir allerdings nicht ganz richtig so. Wo liegt
> der Fehler?

Zu berechnen ist [mm]\int\limits_0^{2\pi}{\sqrt{1+\frac{1}{4\pi^2}} \ dt}[/mm]


>  
> Problem 2: Wie zeichne ich so eine Kurve in Intervall
> [mm][0,2\pi]?[/mm]  Im mehrdimensionalen zu zeichnen fällt mir noch
> ewas schwer.

Das lasse ich mal offen, bevor ich mir die Finger daran verbrenne ;-)

>
>
> LG
>  heinze

Gruß

schachuzipus


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Bogenlänge Schraubenlinie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:05 So 03.06.2012
Autor: Mathegirl


> Zu berechnen ist
> [mm]\int\limits_0^{2\pi}{\sqrt{1+\frac{1}{4\pi^2}} \ dt}[/mm]

Aber wo setze ich jetzt 0 und [mm] 2\pi [/mm] ein? Das muss doch eigentlich für t eingesetzt werden.

MfG
Mathegirl

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Bogenlänge Schraubenlinie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:24 So 03.06.2012
Autor: MathePower

Hallo Mathegirl,

> > Zu berechnen ist
> > [mm]\int\limits_0^{2\pi}{\sqrt{1+\frac{1}{4\pi^2}} \ dt}[/mm]
>  
> Aber wo setze ich jetzt 0 und [mm]2\pi[/mm] ein? Das muss doch
> eigentlich für t eingesetzt werden.
>  


Zunächst bestimmt Du eine Stammfunktion des Integranden.

Dann kannst Du für t die angegebenen Grenzen einsetzen.


> MfG
>  Mathegirl


Gruss
MathePower

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Bogenlänge Schraubenlinie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:55 Mo 04.06.2012
Autor: fred97


> > Zu berechnen ist
> > [mm]\int\limits_0^{2\pi}{\sqrt{1+\frac{1}{4\pi^2}} \ dt}[/mm]
>  
> Aber wo setze ich jetzt 0 und [mm]2\pi[/mm] ein? Das muss doch
> eigentlich für t eingesetzt werden.

Hast Du noch nie über eine konstante Funktion integriert ? Ist c eine Konstante, so ist

[mm] \integral_{a}^{b}{c dx}=c(b-a) [/mm]

FRED


>  
> MfG
>  Mathegirl


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Bogenlänge Schraubenlinie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:46 Mo 04.06.2012
Autor: Mathegirl

[mm] \wurzel{1+\frac{1}{2\pi}} [/mm]  ist dann die gesuchte Bogenlänge??


MfG
Mathegirl

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Bogenlänge Schraubenlinie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:12 Mo 04.06.2012
Autor: leduart

Hallo
nein, zeig deine Rechnung oder nimm die anleitung von al!
Gruss leduart

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Bogenlänge Schraubenlinie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:20 Mo 04.06.2012
Autor: Mathegirl

Okax...ich habe nun also [mm] \wurzel{1-\bruch{1}{4\pi^2}} [/mm] und da es eine konstante Funktion ist kann ich rechnen:

[mm] \wurzel{1-\bruch{1}{4\pi^2}}(2\pi) [/mm]

Wurzel aufheben:

[mm] \wurzel{1}-\wurzel{\bruch{1}{4\pi^2}}= (1-\bruch{1}{2\pi})(2\pi) [/mm]
[mm] =2\pi-1 [/mm]


Das kann aber nicht so recht stimmen...


MfG
Mathegirl

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Bogenlänge Schraubenlinie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:28 Mo 04.06.2012
Autor: MathePower

Hallo Mathegirl,

> Okax...ich habe nun also [mm]\wurzel{1-\bruch{1}{4\pi^2}}[/mm] und
> da es eine konstante Funktion ist kann ich rechnen:
>  
> [mm]\wurzel{1-\bruch{1}{4\pi^2}}(2\pi)[/mm]
>  


Hier muss es doch lauten:

[mm]\wurzel{1\blue{+}\bruch{1}{4\pi^2}}(2\pi)[/mm]


> Wurzel aufheben:
>  
> [mm]\wurzel{1}-\wurzel{\bruch{1}{4\pi^2}}= (1-\bruch{1}{2\pi})(2\pi)[/mm]
> [mm]=2\pi-1[/mm]
>


Im allgemeinen gilt:

[mm]\wurzel{a \pm b}\not=\wurzel{a} \pm \wurzel{b}[/mm]


>
> Das kann aber nicht so recht stimmen...
>  
>
> MfG
>  Mathegirl


Gruss
MathePower

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Bogenlänge Schraubenlinie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 Mo 04.06.2012
Autor: Mathegirl

Ja du hast Recht! Aber irgendwie komme ich ansonsten nicht auf eine vernünftige Bogenlänge. Bin leider grad überfragt was die Rechnerei angeht...


MfG
Mathegirl

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Bogenlänge Schraubenlinie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:45 Mo 04.06.2012
Autor: MathePower

Hallo Mathegirl,

> Ja du hast Recht! Aber irgendwie komme ich ansonsten nicht
> auf eine vernünftige Bogenlänge. Bin leider grad
> überfragt was die Rechnerei angeht...
>  

Den Ausdruck

[mm]\wurzel{1\blue{+}\bruch{1}{4\pi^2}}(2\pi)[/mm]

kannst Du noch etwas vereinfachen,
in dem Du die [mm]2\pi[/mm] unter die Wurzel ziehst.


>
> MfG
>  Mathegirl


Gruss
MathePower

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Bogenlänge Schraubenlinie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:54 Mo 04.06.2012
Autor: Mathegirl

Das hatte ich ja getan aber damit kam ich nicht so recht weiter...

[mm] \wurzel{1+\bruch{1}{2\pi}} [/mm]

Davon dann eine Stammfunktion bilden???

[mm] \wurzel{1+\bruch{1}{2\pi}}t [/mm] ??


MfG
Mathegirl

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Bogenlänge Schraubenlinie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:01 Mo 04.06.2012
Autor: MathePower

Hallo Mathegirl,

> Das hatte ich ja getan aber damit kam ich nicht so recht
> weiter...
>  
> [mm]\wurzel{1+\bruch{1}{2\pi}}[/mm]
>  
> Davon dann eine Stammfunktion bilden???
>  
> [mm]\wurzel{1+\bruch{1}{2\pi}}t[/mm] ??
>  


Es handelt sich doch um diesen Ausdruck:

[mm]\wurzel{1+\bruch{1}{4\pi^2}}(2\pi)[/mm]

Wenn Du die [mm]2\pi[/mm] unter die Wurzel ziehst,
dann musst Du diese quadrieren:

[mm]\wurzel{1+\bruch{1}{4\pi^2}}(2\pi)=\wurzel{\left(1+\bruch{1}{4\pi^2}\right)*\left(2 \pi\right)^{2}}[/mm]


>
> MfG
>  Mathegirl


Gruss
MathePower

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Bogenlänge Schraubenlinie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:27 Mo 04.06.2012
Autor: Mathegirl

Das kann ich dann ausmultiplizieren oder?

[mm] \wurzel{2\pi^2+\bruch{1}{2}} [/mm]

das Rechnen macht mir echt Probleme!


MfG
Mathegirl

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Bogenlänge Schraubenlinie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:09 Mo 04.06.2012
Autor: leduart

Hallo
falsch
geh erst mal schlafen, dann rechne ausgeruht weiter, es hilft nichts, wenn wir dir jeden kleinen Fehler verbessern.
gruss leduart


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Bogenlänge Schraubenlinie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:01 Di 05.06.2012
Autor: Mathegirl

Also auf einen neuen Versuch..irgendwie sehe ich meine Fehler nicht..

es war ja [mm] f(t)=\vektor{cost \\ sint \\ \bruch{1}{2\pi}t} [/mm]

[mm] f'(t)=\vektor{-sint \\ cost \\ \bruch{1}{2\pi}} [/mm]

[mm] \wurzel{sin^2(t)+cos^2(t)+\bruch{1}{2\pi}^2} [/mm]
[mm] =\wurzel{1+\bruch{1}{4\pi^2}} [/mm]

Hier bin ich mir nicht sicher, ob ich weiter vereinfachen kann.

Jedenfalls muss dann gelten:

[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{1+\bruch{1}{4\pi^2}} dx} [/mm]

= [mm] [\wurzel{1+\bruch{1}{4\pi^2}}*t]^2\pi_0 [/mm]

Also [mm] \wurzel{1+\bruch{1}{4\pi^2}}*2\pi -\wurzel{1+\bruch{1}{4\pi^2}}*0 [/mm]

Aber ich denke, ich muss den Wurzelausdruck irgendwie vorher noch vereinfachen...nur wie?


MfG
Mathegirl

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Bogenlänge Schraubenlinie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:17 Di 05.06.2012
Autor: Steffi21

Hallo, dein Problem ist immer noch

[mm] \wurzel{1+\bruch{1}{4\pi^2}}*2\pi [/mm]

den Faktor [mm] 2\pi [/mm] kannst du mit [mm] 4\pi^2 [/mm] unter die Wurzel ziehen

[mm] =\wurzel{4\pi^2*(1+\bruch{1}{4\pi^2})} [/mm]

[mm] =\wurzel{4\pi^2+\bruch{4\pi^2}{4\pi^2}} [/mm]

[mm] =\wurzel{4\pi^2+1} [/mm]

Steffi






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Bogenlänge Schraubenlinie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:03 Sa 02.06.2012
Autor: leduart

hallo
hier deine Kurve

[Dateianhang nicht öffentlich]

gruss leduart

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Bezug
Bogenlänge Schraubenlinie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:16 So 03.06.2012
Autor: heinze

Danke Leduard! Kannst du mir ein Programm zum zeichnen empfehlen?

LG
heinze

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Bezug
Bogenlänge Schraubenlinie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:26 So 03.06.2012
Autor: Richie1401

Ich finde Mathematica ziemlich genial. Man kann noch alles drehen und wenden, so wie man es will.
Zur Not geht auch WolframAlpha als Web-Application.

[]%2CSin[t]%2C1%2F%282Pi%29*t}%2C{t%2C0%2C2Pi}]] Siehe hier


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Bogenlänge Schraubenlinie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:07 Mo 04.06.2012
Autor: Al-Chwarizmi


> [mm]\gamma: [0,2\pi]\to \IR, t\to \vektor{\cos t \\ \sin t \\ \bruch{1}{2\pi}t}[/mm]
> ist ein Schraubenlinienstück.
>  
> Bestimme die Bogenlänge und skizziere das
> Schraubenlinienstück.



Hallo Heinze,

die Aufgabe lässt sich eigentlich ganz ohne Integralrechnung
mittels elementarer Geometrie lösen.

Die Kurve

     [mm]\kappa: [0,2\pi]\to \IR\quad,\quad t\mapsto \vektor{\cos t \\ \sin t \\ 0}[/mm]

wäre ein einmal umlaufener Einheitskreis in der x-y-Ebene.
Mit dem linearen Anteil in z-Richtung

     [mm]\gamma: [0,2\pi]\to \IR\quad,\quad t\mapsto \vektor{\cos t \\ \sin t \\ \bruch{1}{2\pi}*t}[/mm]

erhalten wir den einen Umlauf einer Schraubenlinie, welche
sich auf der Mantelfläche eines Zylinders mit Radius 1 und
z-Achse als Rotationsachse gleichmäßig (mit konstanter
Steigung) vom Startpunkt (1,0,0) zum Endpunkt (1,0,1)
hochschraubt. Wenn man den Mantel des Zylinders und die
darauf eingezeichnete Schraubenlinie in die Ebene abrollt,
wird aus der Schraubenlinie eine geradlinige Strecke, deren
Länge man leicht mittels Pythagoras berechnen kann.

Benütze diese Betrachtung wenigstens zur Kontrolle der
Ergebnisse, die mittels Integration zu berechnen sind.

LG   Al-Chwarizmi


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