Bogenlänge Schraubenlinie < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 Fr 01.06.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | [mm] $\gamma: [0,2\pi]\to \IR, t\to \vektor{\cos t \\ \sin t \\ \bruch{1}{2\pi}t}$ [/mm] ist ein Schraubenlinienstück.
Bestimme die Bogenlänge und skizziere das Schraubenlinienstück. |
f'(t)= [mm] \vektor{-sint \\ cost \\ \bruch{1}{2\pi}}
[/mm]
[mm] |f'(t)|)=\wurzel{(-sint)^2+(cost)^2+(\bruch{1}{2\pi})^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2\pi}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi}\bruch{1}{2\pi}dt =\integral_{0}^{\pi}\bruch{1}{2\pi}dt +\integral_{\pi}^{2\pi}\bruch{1}{2\pi}dt [/mm]
richtig so? Und dann nur noch einsetzen und ausrechnen? Das erscheint mir allerdings nicht ganz richtig so. Wo liegt der Fehler?
Problem 2: Wie zeichne ich so eine Kurve in Intervall [mm] [0,2\pi]? [/mm] Im mehrdimensionalen zu zeichnen fällt mir noch ewas schwer.
LG
heinze
|
|
| |
|
Hallo heize,
> [mm]\gamma: [0,2\pi]\to \IR, t\to \vektor{cost \\
sint \\
\bruch{1}{2\pi}t}[/mm]
> ist ein Schraubenlinienstück.
>
> Bestimme die Bogenlänge und Skizziere das
> Schraubenlinienstück.
> f'(t)= [mm]\vektor{-sint \\
cost \\
\bruch{1}{2\pi}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Oben hieß die Funktion noch [mm]\gamma[/mm], aber egal ...
>
> [mm]|f'(t)|)=\wurzel{(-sint)^2+(cost)^2+(\bruch{1}{2\pi})^2}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{2\pi}[/mm]
??
Das ist doch [mm]\sqrt{1+\left(\frac{1}{2\pi}\right)^2}[/mm]
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}\bruch{1}{2\pi}dt =\integral_{0}^{\pi}\bruch{1}{2\pi}dt +\integral_{\pi}^{2\pi}\bruch{1}{2\pi}dt[/mm]
>
> richtig so? Und dann nur noch einsetzen und ausrechnen? Das
> erscheint mir allerdings nicht ganz richtig so. Wo liegt
> der Fehler?
Zu berechnen ist [mm]\int\limits_0^{2\pi}{\sqrt{1+\frac{1}{4\pi^2}} \ dt}[/mm]
>
> Problem 2: Wie zeichne ich so eine Kurve in Intervall
> [mm][0,2\pi]?[/mm] Im mehrdimensionalen zu zeichnen fällt mir noch
> ewas schwer.
Das lasse ich mal offen, bevor ich mir die Finger daran verbrenne 
>
>
> LG
> heinze
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
> Zu berechnen ist
> [mm]\int\limits_0^{2\pi}{\sqrt{1+\frac{1}{4\pi^2}} \ dt}[/mm]
Aber wo setze ich jetzt 0 und [mm] 2\pi [/mm] ein? Das muss doch eigentlich für t eingesetzt werden.
MfG
Mathegirl
|
|
|
| |
|
Hallo Mathegirl,
> > Zu berechnen ist
> > [mm]\int\limits_0^{2\pi}{\sqrt{1+\frac{1}{4\pi^2}} \ dt}[/mm]
>
> Aber wo setze ich jetzt 0 und [mm]2\pi[/mm] ein? Das muss doch
> eigentlich für t eingesetzt werden.
>
Zunächst bestimmt Du eine Stammfunktion des Integranden.
Dann kannst Du für t die angegebenen Grenzen einsetzen.
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:55 Mo 04.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Zu berechnen ist
> > [mm]\int\limits_0^{2\pi}{\sqrt{1+\frac{1}{4\pi^2}} \ dt}[/mm]
>
> Aber wo setze ich jetzt 0 und [mm]2\pi[/mm] ein? Das muss doch
> eigentlich für t eingesetzt werden.
Hast Du noch nie über eine konstante Funktion integriert ? Ist c eine Konstante, so ist
[mm] \integral_{a}^{b}{c dx}=c(b-a)
[/mm]
FRED
>
> MfG
> Mathegirl
|
|
|
| |
|
[mm] \wurzel{1+\frac{1}{2\pi}} [/mm] ist dann die gesuchte Bogenlänge??
MfG
Mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Mo 04.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein, zeig deine Rechnung oder nimm die anleitung von al!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Okax...ich habe nun also [mm] \wurzel{1-\bruch{1}{4\pi^2}} [/mm] und da es eine konstante Funktion ist kann ich rechnen:
[mm] \wurzel{1-\bruch{1}{4\pi^2}}(2\pi)
[/mm]
Wurzel aufheben:
[mm] \wurzel{1}-\wurzel{\bruch{1}{4\pi^2}}= (1-\bruch{1}{2\pi})(2\pi) [/mm]
[mm] =2\pi-1 [/mm]
Das kann aber nicht so recht stimmen...
MfG
Mathegirl
|
|
|
| |
|
Hallo Mathegirl,
> Okax...ich habe nun also [mm]\wurzel{1-\bruch{1}{4\pi^2}}[/mm] und
> da es eine konstante Funktion ist kann ich rechnen:
>
> [mm]\wurzel{1-\bruch{1}{4\pi^2}}(2\pi)[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]\wurzel{1\blue{+}\bruch{1}{4\pi^2}}(2\pi)[/mm]
> Wurzel aufheben:
>
> [mm]\wurzel{1}-\wurzel{\bruch{1}{4\pi^2}}= (1-\bruch{1}{2\pi})(2\pi)[/mm]
> [mm]=2\pi-1[/mm]
>
Im allgemeinen gilt:
[mm]\wurzel{a \pm b}\not=\wurzel{a} \pm \wurzel{b}[/mm]
>
> Das kann aber nicht so recht stimmen...
>
>
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Ja du hast Recht! Aber irgendwie komme ich ansonsten nicht auf eine vernünftige Bogenlänge. Bin leider grad überfragt was die Rechnerei angeht...
MfG
Mathegirl
|
|
|
| |
|
Hallo Mathegirl,
> Ja du hast Recht! Aber irgendwie komme ich ansonsten nicht
> auf eine vernünftige Bogenlänge. Bin leider grad
> überfragt was die Rechnerei angeht...
>
Den Ausdruck
[mm]\wurzel{1\blue{+}\bruch{1}{4\pi^2}}(2\pi)[/mm]
kannst Du noch etwas vereinfachen,
in dem Du die [mm]2\pi[/mm] unter die Wurzel ziehst.
>
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Das hatte ich ja getan aber damit kam ich nicht so recht weiter...
[mm] \wurzel{1+\bruch{1}{2\pi}}
[/mm]
Davon dann eine Stammfunktion bilden???
[mm] \wurzel{1+\bruch{1}{2\pi}}t [/mm] ??
MfG
Mathegirl
|
|
|
| |
|
Hallo Mathegirl,
> Das hatte ich ja getan aber damit kam ich nicht so recht
> weiter...
>
> [mm]\wurzel{1+\bruch{1}{2\pi}}[/mm]
>
> Davon dann eine Stammfunktion bilden???
>
> [mm]\wurzel{1+\bruch{1}{2\pi}}t[/mm] ??
>
Es handelt sich doch um diesen Ausdruck:
[mm]\wurzel{1+\bruch{1}{4\pi^2}}(2\pi)[/mm]
Wenn Du die [mm]2\pi[/mm] unter die Wurzel ziehst,
dann musst Du diese quadrieren:
[mm]\wurzel{1+\bruch{1}{4\pi^2}}(2\pi)=\wurzel{\left(1+\bruch{1}{4\pi^2}\right)*\left(2 \pi\right)^{2}}[/mm]
>
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Das kann ich dann ausmultiplizieren oder?
[mm] \wurzel{2\pi^2+\bruch{1}{2}}
[/mm]
das Rechnen macht mir echt Probleme!
MfG
Mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Mo 04.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
falsch
geh erst mal schlafen, dann rechne ausgeruht weiter, es hilft nichts, wenn wir dir jeden kleinen Fehler verbessern.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
Also auf einen neuen Versuch..irgendwie sehe ich meine Fehler nicht..
es war ja [mm] f(t)=\vektor{cost \\ sint \\ \bruch{1}{2\pi}t}
[/mm]
[mm] f'(t)=\vektor{-sint \\ cost \\ \bruch{1}{2\pi}}
[/mm]
[mm] \wurzel{sin^2(t)+cos^2(t)+\bruch{1}{2\pi}^2}
[/mm]
[mm] =\wurzel{1+\bruch{1}{4\pi^2}}
[/mm]
Hier bin ich mir nicht sicher, ob ich weiter vereinfachen kann.
Jedenfalls muss dann gelten:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{1+\bruch{1}{4\pi^2}} dx}
[/mm]
= [mm] [\wurzel{1+\bruch{1}{4\pi^2}}*t]^2\pi_0
[/mm]
Also [mm] \wurzel{1+\bruch{1}{4\pi^2}}*2\pi -\wurzel{1+\bruch{1}{4\pi^2}}*0
[/mm]
Aber ich denke, ich muss den Wurzelausdruck irgendwie vorher noch vereinfachen...nur wie?
MfG
Mathegirl
|
|
|
| |
|
Hallo, dein Problem ist immer noch
[mm] \wurzel{1+\bruch{1}{4\pi^2}}*2\pi
[/mm]
den Faktor [mm] 2\pi [/mm] kannst du mit [mm] 4\pi^2 [/mm] unter die Wurzel ziehen
[mm] =\wurzel{4\pi^2*(1+\bruch{1}{4\pi^2})}
[/mm]
[mm] =\wurzel{4\pi^2+\bruch{4\pi^2}{4\pi^2}}
[/mm]
[mm] =\wurzel{4\pi^2+1}
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:03 Sa 02.06.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
hier deine Kurve
[Dateianhang nicht öffentlich]
gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:16 So 03.06.2012 | | Autor: | heinze |
Danke Leduard! Kannst du mir ein Programm zum zeichnen empfehlen?
LG
heinze
|
|
|
| |
|
> [mm]\gamma: [0,2\pi]\to \IR, t\to \vektor{\cos t \\ \sin t \\ \bruch{1}{2\pi}t}[/mm]
> ist ein Schraubenlinienstück.
>
> Bestimme die Bogenlänge und skizziere das
> Schraubenlinienstück.
Hallo Heinze,
die Aufgabe lässt sich eigentlich ganz ohne Integralrechnung
mittels elementarer Geometrie lösen.
Die Kurve
[mm]\kappa: [0,2\pi]\to \IR\quad,\quad t\mapsto \vektor{\cos t \\ \sin t \\ 0}[/mm]
wäre ein einmal umlaufener Einheitskreis in der x-y-Ebene.
Mit dem linearen Anteil in z-Richtung
[mm]\gamma: [0,2\pi]\to \IR\quad,\quad t\mapsto \vektor{\cos t \\ \sin t \\ \bruch{1}{2\pi}*t}[/mm]
erhalten wir den einen Umlauf einer Schraubenlinie, welche
sich auf der Mantelfläche eines Zylinders mit Radius 1 und
z-Achse als Rotationsachse gleichmäßig (mit konstanter
Steigung) vom Startpunkt (1,0,0) zum Endpunkt (1,0,1)
hochschraubt. Wenn man den Mantel des Zylinders und die
darauf eingezeichnete Schraubenlinie in die Ebene abrollt,
wird aus der Schraubenlinie eine geradlinige Strecke, deren
Länge man leicht mittels Pythagoras berechnen kann.
Benütze diese Betrachtung wenigstens zur Kontrolle der
Ergebnisse, die mittels Integration zu berechnen sind.
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
%2CSin[t]%2C1%2F%282Pi%29*t}%2C{t%2C0%2C2Pi}]] Siehe hier