Bogenlänge im 3D Raum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Di 13.10.2009 | | Autor: | marc1001 |
| Aufgabe | Gegeben sei der Ortsvektor einer Schraubenlinie
[mm] r(t)=\vektor{t\\sin(\pi*t)\\cos(\pi*t)}
[/mm]
Berechne die Bogenlänge für einen vollen Umlauf [mm] 0\le t\le [/mm] 2 |
Ok,
ich weiß das die Bogenlänge einer Raumkurve folgendermaßen berechnet wird
[mm] \integral_{a}^{b}\wurzel{(\bruch{dx}{dt})^2+(\bruch{dy}{dt})^2+(\bruch{dz}{dt})^2}*dt
[/mm]
Demnach sähe das doch so aus:
[mm] \integral_{0}^{2}\wurzel{(\bruch{t}{dt})^2+(\bruch{sin(\pi*t)}{dt})^2+(\bruch{cos(\pi*t}{dt})^2}*dt
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2}\wurzel{ 1+ (\pi*cos(\pi*t))^2+(\pi*-sin(\pi*t)^2}*dt
[/mm]
Ist das soweit Richtig? Ich finde das Integral etwas mies, deswegen glaub ich das es falsch seien könnte.
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> Gegeben sei der Ortsvektor einer Schraubenlinie
> [mm]r(t)=\vektor{t\\sin(\pi*t)\\cos(\pi*t)}[/mm]
> Berechne die Bogenlänge für einen vollen Umlauf [mm]0\le t\le[/mm]
> 2
> Ok,
> ich weiß das die Bogenlänge einer Raumkurve
> folgendermaßen berechnet wird
>
> [mm]\integral_{a}^{b}\wurzel{(\bruch{dx}{dt})^2+(\bruch{dy}{dt})^2+(\bruch{dz}{dt})^2}*dt[/mm]
>
> Demnach sähe das doch so aus:
> [mm]\integral_{0}^{2}\wurzel{(\bruch{t}{dt})^2+(\bruch{sin(\pi*t)}{dt})^2+(\bruch{cos(\pi*t}{dt})^2}*dt[/mm]
>
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> [mm]\integral_{0}^{2}\wurzel{ 1+ (\pi*cos(\pi*t))^2+(\pi*-sin(\pi*t)^2}*dt[/mm]
sieht doch ganz gut aus! es lässt sich durch
[mm] sin^2(x)+cos^2(x)=1 [/mm] weiter vereinfachen! also quadrieren, ausklammern und schon ist das integral halb so wild
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> Ist das soweit Richtig? Ich finde das Integral etwas mies,
> deswegen glaub ich das es falsch seien könnte.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Di 13.10.2009 | | Autor: | marc1001 |
[mm] \integral_{0}^{2}\wurzel{ 1+ \pi^2*(cos^2(\pi*t)-sin^2(\pi*t))}*dx
[/mm]
Aber ist [mm] -sin^2(x)+cos^2(x) [/mm] auch = 1
wenn sähe das vereinfachte Integral doch so aus
[mm] \integral_{0}^{2}\wurzel{ 1+ \pi^2}*dx
[/mm]
demnach wäre die Stammfunktion
[mm] \wurzel{ 1+ \pi^2}*x+C [/mm]
und von 0 nach 2 dann
[mm] 2*\wurzel{ 1+ \pi^2}
[/mm]
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> [mm]\integral_{0}^{2}\wurzel{ 1+ \pi^2*(cos^2(\pi*t)-sin^2(\pi*t))}*dx[/mm]
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> Aber ist [mm]-sin^2(x)+cos^2(x)[/mm] auch = 1
Natürlich nicht !
Aber das Quadrat von [mm] (-\,sin(\pi*t)) [/mm] ist gleich [mm] +\,sin^2(\pi*t) [/mm] !
LG
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> Gegeben sei der Ortsvektor einer Schraubenlinie
> [mm]r(t)=\vektor{t\\sin(\pi*t)\\cos(\pi*t)}[/mm]
> Berechne die Bogenlänge für einen vollen Umlauf [mm] 0\le t\le [/mm] 2
> Ok,
> ich weiß das die Bogenlänge einer Raumkurve
> folgendermaßen berechnet wird
>
> [mm]\integral_{a}^{b}\wurzel{(\bruch{dx}{dt})^2+(\bruch{dy}{dt})^2+(\bruch{dz}{dt})^2}*dt[/mm]
>
> Demnach sähe das doch so aus:
> [mm]\integral_{0}^{2}\wurzel{(\bruch{t}{dt})^2+(\bruch{sin(\pi*t)}{dt})^2+(\bruch{cos(\pi*t}{dt})^2}*dt[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{2}\wurzel{ 1+ (\pi*cos(\pi*t))^2+(\pi*-sin(\pi*t)^2}*dt[/mm]
Hallo marc,
Bei der Schraubenlinie ist die Bogenlängenberechnung
auch ohne dieses Integral möglich, da die Schrauben-
linie auf einer Zylinderfläche liegt, die man in die Ebene
abrollen kann. Aus der Schraubenlinie wird dabei eine
Strecke, deren Länge man ganz einfach nach Pythagoras
berechnen kann. Am besten rechnest du beide Wege durch
und überzeugst dich damit selber von der Richtigkeit
deiner Lösung.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Di 13.10.2009 | | Autor: | marc1001 |
Hi
danke dir. Da hatte ich beim Quadrieren nicht aufgepasst .
Der Rest ist dann aber Richitg?
Zu deinem 2. Ansatz.
Keine Ahnung wie du das meinst. Vielleicht über die Tangentenvektoren und die Krümmer von Raumkurven ?
Gruß
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Di 13.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi
>
> danke dir. Da hatte ich beim Quadrieren nicht aufgepasst .
> Der Rest ist dann aber Richitg?
Ja
>
> Zu deinem 2. Ansatz.
> Keine Ahnung wie du das meinst.
Wenn Du die Zylinderfläche in die Eben abrollst entsteht ein Rechteck (denk an eine leere Klopapierrolle) . Wie sieht nach dem abrollen die Schraubenlinie aus ?
> Vielleicht über die
> Tangentenvektoren und die Krümmer von Raumkurven ?
.............Krümmer ?
http://de.wikipedia.org/wiki/Krümmer
FRED
> Gruß
> Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Di 13.10.2009 | | Autor: | marc1001 |
Sorry komm nicht drauf.
parallele Linien mit einem bestimmten Winkel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Di 13.10.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nimm dir mal ein A4-Blatt und ziehe eine Strecke von oben links nach unten rechts. Dann roll das Papier zu einem Zylinder (am besten ohne Überlappung).
Deine Strecke verläuft nun wie eine Spirale um den Zylinder.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Di 13.10.2009 | | Autor: | marc1001 |
Oh man. Das ist ja peinlich :)
Aber wie kann ich jetzt den Ortsvektor zur berchnung der Diagonalen heranziehen.
Die Länge der Diagonalen ( der Bogenlänge) müsste dann doch [mm] \wurzel{l^2+b^2} [/mm] sein. Und wie komme ich durch den Orstvektor auf die Werte
[mm] Bogenlänge=\wurzel{(2\pi*r)^2+h^2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Di 13.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Deine aufgeklappte Klopapierrolle hat als Rechteck die Seitenlängen h und $2 [mm] \pi [/mm] r$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Di 13.10.2009 | | Autor: | marc1001 |
Aber kann mir jemand sagen wie ich von [mm] Bogenlänge=\wurzel{(2\pi\cdot{}r)^2+h^2}
[/mm]
auf das Ergebnis der "Integral - Version"
[mm] 2\cdot{}\wurzel{ 1+ \pi^2}
[/mm]
komme.
Sollte im Prinzip ja das gleiche sein
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> Aber kann mir jemand sagen wie ich von
> [mm]Bogenlänge=\wurzel{(2\pi\cdot{}r)^2+h^2}[/mm]
>
> auf das Ergebnis der "Integral - Version"
> [mm]2\cdot{}\wurzel{ 1+ \pi^2}[/mm]
> komme.
>
> Sollte im Prinzip ja das gleiche sein
Hallo marc,
du musst dir klar machen, wie der Zylinder aus-
sieht, der Trägerfläche der Schraubenlinie der Auf-
gabe ist.
Es ist r=1 und h=2
LG Al-Chw.
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