Bogenlänge von Kurven < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Do 21.04.2016 | | Autor: | Schobbi |
| Aufgabe 1 | Seien r,c [mm] \in R\backslash{0} [/mm] und [mm] f:[a,b]->R^3 [/mm] mit f(x)=(r*cos(x), r*sin(x), cx).
Berechnen Sie die Bogenlänge. |
| Aufgabe 2 | Für [mm] c\in R\backslash{0} [/mm] sei [mm] f:R->R^2 [/mm] mit [mm] f(x)=(e^{cx}*cos(x), e^{cx}*sin(x)).
[/mm]
Berechnen Sie für jedes Intervall [a,b] die Bogenlänge [mm] L_{a,b} [/mm] der Kurve [mm] f|_{[a,b]} [/mm] |
Hallo zusammen!
bin mit bei obigen Aufgaben nicht ganz sicher ob ich das so machen kann, bzw. ob das schon alles ist, oder ob ich da noch mehr berechnen muss. Vielleicht könnt Ihr mir da ein kleines Feedback geben.
Für die Bogenlänge einer Kurve gilt doch: [mm] L_{a,b}(f)=\integral_{a}^{b}{|f'(x)| dx}, [/mm] oder?
AUFGABE 1:
f(x)=(r*cos(x), r*sin(x), cx)
f'(x)=(-r*sin(x), r*cos(x), c)
[mm] L_{a,b}(f)=\integral_{a}^{b}\wurzel{(-r*sin(x))^2 + (r*cos(x))^2 + c^2}
[/mm]
[mm] =\integral_{a}^{b}\wurzel{r^2*sin^2(x) + r^2*cos^2(x) + c^2}
[/mm]
[mm] =\integral_{a}^{b}\wurzel{r^2*(sin^2(x) + cos^2(x)) + c^2}
[/mm]
[mm] =\integral_{a}^{b}\wurzel{r^2 + c^2}
[/mm]
[mm] =[\wurzel{r^2 + c^2}*x]
[/mm]
[mm] =\wurzel{r^2 + c^2}*b-\wurzel{r^2 + c^2}*a
[/mm]
[mm] =(b-a)*\wurzel{r^2 + c^2}
[/mm]
AUFGABE 2:
Auch hier hab ich einen ähnlichen Ansatz gewählt:
[mm] f'(x)=e^{cx}*(c*cos(x)-sin(x), e^{cx}*(c*sin(x)+cos(x))
[/mm]
[mm] L_{a,b}(f)=\integral_{a}^{b}\wurzel{(e^{cx}*(c*cos(x)-sin(x))^2 + (e^{cx}*(c*sin(x)+cos(x)))^2}
[/mm]
=...
[mm] =\integral_{a}^{b}{e^{cx}*\wurzel{c^2+1}}
[/mm]
[mm] =[\bruch{\wurzel{c^2+1}}{c}*e^{cx}]
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{c^2+1}}{c}*(e^{cb}-e^{ca})
[/mm]
Vorab schon mal vielen DANK für Eure Kommentare!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 Do 21.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Seien r,c [mm]\in R\backslash{0}[/mm] und [mm]f:[a,b]->R^3[/mm] mit
> f(x)=(r*cos(x), r*sin(x), cx).
> Berechnen Sie die Bogenlänge.
> Für [mm]c\in R\backslash{0}[/mm] sei [mm]f:R->R^2[/mm] mit
> [mm]f(x)=(e^{cx}*cos(x), e^{cx}*sin(x)).[/mm]
> Berechnen Sie für
> jedes Intervall [a,b] die Bogenlänge [mm]L_{a,b}[/mm] der Kurve
> [mm]f|_{[a,b]}[/mm]
> Hallo zusammen!
> bin mit bei obigen Aufgaben nicht ganz sicher ob ich das
> so machen kann, bzw. ob das schon alles ist, oder ob ich da
> noch mehr berechnen muss. Vielleicht könnt Ihr mir da ein
> kleines Feedback geben.
>
> Für die Bogenlänge einer Kurve gilt doch:
> [mm]L_{a,b}(f)=\integral_{a}^{b}{|f'(x)| dx},[/mm] oder?
>
> AUFGABE 1:
> f(x)=(r*cos(x), r*sin(x), cx)
> f'(x)=(-r*sin(x), r*cos(x), c)
>
> [mm]L_{a,b}(f)=\integral_{a}^{b}\wurzel{(-r*sin(x))^2 + (r*cos(x))^2 + c^2}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{a}^{b}\wurzel{r^2*sin^2(x) + r^2*cos^2(x) + c^2}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{a}^{b}\wurzel{r^2*(sin^2(x) + cos^2(x)) + c^2}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{a}^{b}\wurzel{r^2 + c^2}[/mm]
> [mm]=[\wurzel{r^2 + c^2}*x][/mm]
>
> [mm]=\wurzel{r^2 + c^2}*b-\wurzel{r^2 + c^2}*a[/mm]
>
> [mm]=(b-a)*\wurzel{r^2 + c^2}[/mm]
>
>
> AUFGABE 2:
> Auch hier hab ich einen ähnlichen Ansatz gewählt:
> [mm]f'(x)=e^{cx}*(c*cos(x)-sin(x), e^{cx}*(c*sin(x)+cos(x))[/mm]
>
> [mm]L_{a,b}(f)=\integral_{a}^{b}\wurzel{(e^{cx}*(c*cos(x)-sin(x))^2 + (e^{cx}*(c*sin(x)+cos(x)))^2}[/mm]
>
> =...
> [mm]=\integral_{a}^{b}{e^{cx}*\wurzel{c^2+1}}[/mm]
> [mm]=[\bruch{\wurzel{c^2+1}}{c}*e^{cx}][/mm]
> [mm]=\bruch{\wurzel{c^2+1}}{c}*(e^{cb}-e^{ca})[/mm]
> Vorab schon mal vielen DANK für Eure Kommentare!
Ich hab nur einen Kommentar:
alles richtig
Gruß FRED
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Bei allen Integralen fehlt aber noch ein dx als Faktor.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Fr 22.04.2016 | | Autor: | Schobbi |
@ HJKweseleit: Stimmt, die hab ich einfach vergessen einzutippen 
Vielen Dank für die Kommentare: weiterhin soll ich noch zeigen, dass obiges f jeden Kreis um den Ursprung in genau einem Punkt schneidet, und zusätzlich den Schnittwinkel des Kreises und f bestimmen.
Zur Berechnung des Schnittpunkts, hab ich den Kreis
[mm] k:[0,2\pi] [/mm] -> [mm] R^2 [/mm] mit k(x)=(r*cos(x), r*sin(x)) betrachtet und mit f gleichgesetzt. Somit erhalte ich für x jeweils [mm] x=\bruch{ln(r)}{c}
[/mm]
und als [mm] f(\bruch{ln(r)}{c})=(r*cos(\bruch{ln(r)}{c}), r*sin(\bruch{ln(r)}{c}))
[/mm]
Denke soweit ist das richtig,doch wie kann ich nun den Schnittwinkel berechnen? Meine Idee war es jeweils Tangenten an die Kreise im Schnittpunkt zu legen und dann deren Schnittwinkel zu bestimmen. Mit fehlt aber die Idee wie ich diese Tangenten aufstellen kann. Vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen. Oder gibt es eine einfachere Möglichkeit?
Lieben Dank und einen schönen Start ins Wochenende
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Fr 22.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
einfach den Winkel der 2 Tangentialvektoren im Schnittpunkt bestimmen (Skalarprodukt)
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 So 24.04.2016 | | Autor: | Schobbi |
d.h. ich habe ja k(x)=(rcos(z), rsin(z)) und [mm] f(z)=(e^{cz}cos(z), e^{cz}sin(z)) [/mm] an der Stelle [mm] z=\bruch{ln(r)}{c} [/mm] (also dem Berührpunkt) gegeben und es gilt:
k'(x)=(-rsin(z), rcos(z)) und [mm] f(z)=(e^{cz}(ccos(z)-sin(z)), e^{cz}(csin(z)-cos(z)))
[/mm]
Kann ich jetzt einfach den Winkel zwischen den beiden Vektoren wie folgt berechnen?
[mm] cos(\alpha)=\bruch{\vektor{ -rsin(z)\\ rcos(z)}\*\vektor{e^{cz}(ccos(z)-sin(z)) \\ e^{cz}(csin(z)-cos(z))}}{|\vektor{ -rsin(z)\\ rcos(z)}|*|\vektor{e^{cz}(ccos(z)-sin(z)) \\ e^{cz}(csin(z)-cos(z))}}
[/mm]
[mm] cos(\alpha)=...
[/mm]
[mm] cos(\alpha)=\bruch{1}{\wurzel{c^2+1}}
[/mm]
[mm] \alpha=cos^{-1}(\bruch{1}{\wurzel{c^2+1}})
[/mm]
Euch noch einen schönen Sonntag und danke für Eure Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 So 24.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, das besondere ist, dass der Schnittwinkel für alle Kreise konstant ist.
Gruß leduart
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