Bolzano-Weierstraß gilt nicht < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige, dass im Folgenraum [mm] $l_{2}:=\left\{(x_{i})_{i\in\IN}\subset \IR\Big|\sqrt{\sum_{i=1}^{\infty}|x_{i}|^{2}} < \infty\right\}$ [/mm] mit der Norm [mm] $||x||:=\sqrt{\sum_{i=1}^{\infty}|x_{i}|^{2}}$ [/mm] der Satz von Bolzano-Weierstraß und der Satz von Heine-Borel nicht notwendig gelten müssen. |
Hallo!
Zunächst zum Satz von Bolzano-Weierstraß. Ich habe mir zwei Gegenbeispiele überlegt:
1. [mm] $(x^{(n)})_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $x^{(n)} [/mm] = (0,...,0,1,0,0,0...)$ mit der 1 an der n-ten Stelle der Folge.
2. [mm] $(x^{(n)})_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $x^{(n)} [/mm] = [mm] (\frac{1}{\sqrt{n}},\frac{1}{\sqrt{n}},...,\frac{1}{\sqrt{n}},0,0,0...)$ [/mm] mit [mm] \frac{1}{\sqrt{n}} [/mm] an den Stellen von 1 bis n der Folge.
Diese wären jeweils beschränkt, weil die Normen beide 1 sind (stimmt das?)
Bei 2. wäre die Grenzfolge ja die Nullfolge - damit wäre aber der Abstand der Folge [mm] (x^{(n)}) [/mm] zur Grenzfolge gerade die Norm von [mm] x^{(n)} [/mm] selbst, also die Nullfolge.
Aber Moment - darf ich überhaupt behaupten, die Grenzfolge ist die Nullfolge?
Woher bekomme ich das?
Bei 1. weiß ich überhaupt nicht, wie die Grenzfolge auszusehen hätte...
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:54 Mi 12.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Zeige, dass im Folgenraum
> [mm]l_{2}:=\left\{(x_{i})_{i\in\IN}\subset \IR\Big|\sqrt{\sum_{i=1}^{\infty}|x_{i}|^{2}} < \infty\right\}[/mm]
> mit der Norm [mm]||x||:=\sqrt{\sum_{i=1}^{\infty}|x_{i}|^{2}}[/mm]
> der Satz von Bolzano-Weierstraß und der Satz von
> Heine-Borel nicht notwendig gelten müssen.
> Hallo!
>
> Zunächst zum Satz von Bolzano-Weierstraß. Ich habe mir
> zwei Gegenbeispiele überlegt:
>
> 1. [mm](x^{(n)})_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]x^{(n)} = (0,...,0,1,0,0,0...)[/mm]
> mit der 1 an der n-ten Stelle der Folge.
> 2. [mm](x^{(n)})_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]x^{(n)} = (\frac{1}{\sqrt{n}},\frac{1}{\sqrt{n}},...,\frac{1}{\sqrt{n}},0,0,0...)[/mm]
> mit [mm]\frac{1}{\sqrt{n}}[/mm] an den Stellen von 1 bis n der
> Folge.
>
> Diese wären jeweils beschränkt, weil die Normen beide 1
> sind (stimmt das?)
Bei der ersten gibt nur einen Summanden un der ist 1 und bei der zweiten n Summanden der Größe 1/n. Ich würd sagen: Ja.
>
> Bei 2. wäre die Grenzfolge ja die Nullfolge - damit wäre
> aber der Abstand der Folge [mm](x^{(n)})[/mm] zur Grenzfolge gerade
> die Norm von [mm]x^{(n)}[/mm] selbst, also die Nullfolge.
> Aber Moment - darf ich überhaupt behaupten, die
> Grenzfolge ist die Nullfolge?
> Woher bekomme ich das?
Nullfolge als Grenzfolge setzt voraus, dass [mm] ||0-x_n|| [/mm] beliebig klein wird, sobald n hinreichend groß ist. In beiden Fällen ist aber der Abstand zur Nullfolge konstant eins. Mehr noch: Der Abstand zweier beliebiger Folgenglieder der ersten Folge ist immer [mm] \wurzel{2} [/mm]
Und bei der zweiten ist (sei n>m)
[mm] ||x_n-x_m||^2=\summe_{i=1}^m (1/\wurzel{n}-1/\wurzel{m})^2+\summe_{i=m+1}^n 1/n=(n-m)/n+m(n+m-2\wurzel{nm})/(nm)=2(1-\wurzel{m/n}) [/mm]
>
> Bei 1. weiß ich überhaupt nicht, wie die Grenzfolge
> auszusehen hätte...
Wenn beliebige Folgenglieder den konstanten Abstand [mm] \wurzel{2} [/mm] haben kann man da schwei eine konvergente Teilfolge auswählen. Aber das war ja auch Sinn der Sache.
Bei der zweiten gibt es, soweit ich das sehe, auch keine Möglichkeit eine Teilfolge auszuwählen die konvergent ist.
>
> Danke für Eure Hilfe!
>
> Grüße,
> Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Mi 12.05.2010 | | Autor: | gfm |
Ergänzung:
Bolzano-Weierstrass sagt ja aus, dass eine beschränkte Folge (aus [mm] \IK^n) [/mm] eine konvergente Teilfolge besitzt. Und das ist eben bei der Folge [mm] (1_{\{n\}})_{n\in\IN}\subset l_2 [/mm] nicht möglich, da alle Elemente einen Abstand von [mm] \wurzel{2} [/mm] haben.
Heine-Borel sagt ja aus, dass die Definition mit der Existenz von endlich vielen offenen überdeckenden Mengen in beliebigen offenen Überdeckungen äquivalent zur gleichzeitigen Beschränkt- und Abgeschlossenheit ist. Obige Folge ist so eine beschränkte und abgeschlossene Menge aus [mm] l_2. [/mm] Zu jedem Element existiert ein offener Ball, der keines der anderen Elemente enthält. Ihre Vereinigung überdeckt also die Folge und kein Ball kann dann weggelassen werden.
So würde ich das sehen.
LG
gfm
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Mi 12.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Zum Bolzano- Weierstraß:
Die Folge $ [mm] (x^{(n)})_{n\in\IN} [/mm] $ mit $ [mm] x^{(n)} [/mm] = (0,...,0,1,0,0,0...) $ (mit der 1 an der n-ten Stelle ) aus [mm] l_2 [/mm] ist beschränkt, enthält aber keine konvergente Teilfolge. Das dürfte klar sein.
Zum Heine -Borel:
ist X ein endlich -dimensionaler normierter Raum, so gilt der Sartz von Heine Borel: ist M [mm] \subseteq [/mm] X, so ist M genau dann kompakt, wenn M abgeschlossen und beschränkt ist.
Nun zu [mm] l_2. [/mm] Sei K:= { x [mm] \in l_2: [/mm] ||x|| [mm] \le [/mm] 1 }. Dann ist K natürlich beschränkt und abgeschlossen, aber nicht kompakt, denn die obige Folge [mm] (x^{(n)}) [/mm] ist eine Folge in K , enthält aber keine konvergente Teilfolge.
FRED
P.S. Man kann zeigen: ein normierter Raum ist genau dann endlichdimensional, wenn seine abgeschlossene Einheitskugel kompakt ist.
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Hallo gfm, hallo Fred,
vielen Dank für Eure Antworten!
Das ganze ist mir jetzt schon viel klarer 
> Zum Bolzano- Weierstraß:
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> Die Folge [mm] (x^{(n)})_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] ]x^{(n)} [/mm] = (0,...,0,1,0,0,0...)
> (mit der 1 an der n-ten Stelle ) aus [mm] l_2 [/mm] ist beschränkt,
> enthält aber keine konvergente Teilfolge. Das dürfte klar
> sein.
Ich möchte trotzdem versuchen, die Klarheit zu beweisen / begründen: Wenn es eine Teilfolge gäbe, die konvergieren würde, wäre diese Teilfolge insbesondere Cauchy-Folge. Dies ist aber falsch, weil für beliebiges [mm] $n,m\in\IN, n\not= [/mm] m$ gilt: [mm] $||x^{(n)} [/mm] - [mm] x^{(m)}|| [/mm] = [mm] \sqrt{2}$ [/mm] (und somit gilt dies auch für jede Teilfolge).
Ist das so okay?
> Zum Heine -Borel:
>
> ist X ein endlich -dimensionaler normierter Raum, so gilt
> der Satz von Heine Borel: ist M [mm]\subseteq[/mm] X, so ist M
> genau dann kompakt, wenn M abgeschlossen und beschränkt
> ist.
>
> Nun zu [mm] l_2. [/mm] Sei K:= { x [mm] \in l_2: [/mm] ||x|| [mm] \le [/mm] 1 }. Dann ist K
> natürlich beschränkt und abgeschlossen, aber nicht
> kompakt, denn die obige Folge [mm] (x^{(n)}) [/mm] ist eine Folge in
> K , enthält aber keine konvergente Teilfolge.
Mir ist klar, dass K beschränkt ist.
Im [mm] \IR^{n} [/mm] wäre mir auch klar, warum die Einheitskugel mit Rand abgeschlossen ist. Aber darf ich das jetzt einfach übertragen auf diesen Folgenraum?
---------
In unserer Vorlesung stellt der Satz von Heine-Borel aber eine Äquivalenz zwischen "Beschränkt und abgeschlossen" und der "Heine-Borelschen Überdeckungseigenschaft" (Jede offene Überdeckung hat eine endliche Teilüberdeckung) her.
Ich habe mir überlegt, dass ich evtl. zeigen kann, dass die Menge aller Folgenglieder der Folge [mm] (x^{(n)}) [/mm] von oben abgeschlossen ist (beschränkt ist ja weiterhin klar). Wenn ich dann um jedes Element der Folge [mm] (x^{(n)}) [/mm] eine Kugel vom Radius 1 < [mm] \sqrt{2} [/mm] lege, bildet dies eine offene Überdeckung der Folge [mm] (x^{(n)}), [/mm] aber ich kann keine endliche Teilüberdeckung auswählen (weil alle Folgenglieder voneinander den "Abstand" [mm] \sqrt{2} [/mm] haben).
Aber wir kann ich zeigen, dass die Menge [mm] \{x^{(n)}|n\in\IN\} [/mm] abgeschlossen ist (im Sinne Komplement offen?). Oder funktioniert das Beispiel überhaupt nicht?
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Mi 12.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo gfm, hallo Fred,
>
> vielen Dank für Eure Antworten!
> Das ganze ist mir jetzt schon viel klarer
>
> > Zum Bolzano- Weierstraß:
> >
> > Die Folge [mm](x^{(n)})_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]]x^{(n)}[/mm] =
> (0,...,0,1,0,0,0...)
> > (mit der 1 an der n-ten Stelle ) aus [mm]l_2[/mm] ist
> beschränkt,
> > enthält aber keine konvergente Teilfolge. Das dürfte klar
> > sein.
>
> Ich möchte trotzdem versuchen, die Klarheit zu beweisen /
> begründen: Wenn es eine Teilfolge gäbe, die konvergieren
> würde, wäre diese Teilfolge insbesondere Cauchy-Folge.
> Dies ist aber falsch, weil für beliebiges [mm]n,m\in\IN, n\not= m[/mm]
> gilt: [mm]||x^{(n)} - x^{(m)}|| = \sqrt{2}[/mm] (und somit gilt dies
> auch für jede Teilfolge).
> Ist das so okay?
Ja
>
> > Zum Heine -Borel:
> >
> > ist X ein endlich -dimensionaler normierter Raum, so gilt
> > der Satz von Heine Borel: ist M [mm]\subseteq[/mm] X, so ist M
> > genau dann kompakt, wenn M abgeschlossen und beschränkt
> > ist.
> >
> > Nun zu [mm]l_2.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Sei K:= { x [mm]\in l_2:[/mm] ||x|| [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1 }. Dann ist K
> > natürlich beschränkt und abgeschlossen, aber nicht
> > kompakt, denn die obige Folge [mm](x^{(n)})[/mm] ist eine Folge in
> > K , enthält aber keine konvergente Teilfolge.
>
> Mir ist klar, dass K beschränkt ist.
> Im [mm]\IR^{n}[/mm] wäre mir auch klar, warum die Einheitskugel
> mit Rand abgeschlossen ist. Aber darf ich das jetzt einfach
> übertragen auf diesen Folgenraum?
Ist X ein normierter Raum und K := { x [mm] \in [/mm] X: ||x|| [mm] \le [/mm] 1 }, so ist K stets abgeschlossen !
Beweis: sei [mm] (x_n) [/mm] eine konvergente Folge in K und [mm] x_0 [/mm] ihr Limes. Dann: [mm] ||x_n|| \to ||x_0||. [/mm] Folglich gehört auch [mm] x_0 [/mm] zu K
>
> ---------
>
> In unserer Vorlesung stellt der Satz von Heine-Borel aber
> eine Äquivalenz zwischen "Beschränkt und abgeschlossen"
> und der "Heine-Borelschen Überdeckungseigenschaft" (Jede
> offene Überdeckung hat eine endliche Teilüberdeckung)
> her.
In topologischen Räumen wird der Begriff "kompakt" wie folgt def.:
Eine Teilmenge A eines top. Raumes heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung von A eine endliche Teilüberdeckung von A hat.
In metrischen Räumen gilt nun für eine Teilmenge A:
A ist kompakt [mm] \gdw [/mm] jede Folge aus A enthält eine konvergente Teilfolge, deren Limes zu A gehört.
FRED
>
> Ich habe mir überlegt, dass ich evtl. zeigen kann, dass
> die Menge aller Folgenglieder der Folge [mm](x^{(n)})[/mm] von oben
> abgeschlossen ist (beschränkt ist ja weiterhin klar). Wenn
> ich dann um jedes Element der Folge [mm](x^{(n)})[/mm] eine Kugel
> vom Radius 1 < [mm]\sqrt{2}[/mm] lege, bildet dies eine offene
> Überdeckung der Folge [mm](x^{(n)}),[/mm] aber ich kann keine
> endliche Teilüberdeckung auswählen (weil alle
> Folgenglieder voneinander den "Abstand" [mm]\sqrt{2}[/mm] haben).
> Aber wir kann ich zeigen, dass die Menge
> [mm]\{x^{(n)}|n\in\IN\}[/mm] abgeschlossen ist (im Sinne Komplement
> offen?). Oder funktioniert das Beispiel überhaupt nicht?
>
> Grüße,
> Stefan
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Hallo Fred,
vielen Dank für deine Antwort!
Die ersten beiden Sachen habe ich nun verstanden.
> > In unserer Vorlesung stellt der Satz von Heine-Borel aber
> > eine Äquivalenz zwischen "Beschränkt und abgeschlossen"
> > und der "Heine-Borelschen Überdeckungseigenschaft" (Jede
> > offene Überdeckung hat eine endliche Teilüberdeckung)
> > her.
>
>
> In topologischen Räumen wird der Begriff "kompakt" wie
> folgt def.:
>
> Eine Teilmenge A eines top. Raumes heißt kompakt, wenn
> jede offene Überdeckung von A eine endliche
> Teilüberdeckung von A hat.
>
> In metrischen Räumen gilt nun für eine Teilmenge A:
>
> A ist kompakt [mm]\gdw[/mm] jede Folge aus A enthält eine
> konvergente Teilfolge, deren Limes zu A gehört.
Ja...
Ich verstehe ja, warum ich statt "beschränkt und abgeschlossen" auch "folgenkompakt" nehmen kann.
Aber wie gesagt, der Satz von Heine-Borel bringt bei uns den Zusammenhang mit der "Überdeckungseigenschaft". Das steht im Skript konkret so da, also muss ich ein Gegenbeispiel finden, so dass die Überdeckungseigenschaft nicht erfüllt ist, aber eine der beiden anderen "Kompaktheiten" gilt.
Und ich habe mir eben folgendes gedacht:
Die Menge [mm] $\{(x^{(n)})\subset\IR| n\in\IN\}$, $x^{(n)} [/mm] = (0,...,0,1,0,...,0,...)$ mit der 1 an der n-ten Stelle. Diese kann ich disjunkt überdecken, und sie ist auch beschränkt. Aber ist sie auch abgeschlossen?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Mi 12.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich verstehe ja, warum ich statt "beschränkt und
> abgeschlossen" auch "folgenkompakt" nehmen kann.
Nein, das kannst du nicht. Lies dir die Antwort noch einmal durch.
> Aber wie gesagt, der Satz von Heine-Borel bringt bei uns
> den Zusammenhang mit der "Überdeckungseigenschaft". Das
> steht im Skript konkret so da, also muss ich ein
> Gegenbeispiel finden, so dass die Überdeckungseigenschaft
> nicht erfüllt ist, aber eine der beiden anderen
> "Kompaktheiten" gilt.
Nein. In jedem normierten Raum sind Folgenkompaktheit und Überdeckungskompaktheit äquivalent (was Fred schon geschrieben hat). Diese beiden (äquivalenten) Sachen sind eben im unendlich-dim. nicht äquivalent zu "beschränkt und abgeschlossen".
> Und ich habe mir eben folgendes gedacht:
> Die Menge [mm]\{(x^{(n)})\subset\IR| n\in\IN\}[/mm], [mm]x^{(n)} = (0,...,0,1,0,...,0,...)[/mm]
> mit der 1 an der n-ten Stelle. Diese kann ich disjunkt
> überdecken, und sie ist auch beschränkt. Aber ist sie
> auch abgeschlossen?
Sie ist auch abgeschlossen. Überlege dir dazu, dass für jedes x der Abstand zu der Menge echt größer 0 ist, also [m]\inf\{d(x,y)|y\in (x^{(n)})\}>0[/m] ist.
SEcki
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Hallo!
Danke, Secki, für deine Antwort!
> > Ich verstehe ja, warum ich statt "beschränkt und
> > abgeschlossen" auch "folgenkompakt" nehmen kann.
>
> Nein, das kannst du nicht. Lies dir die Antwort noch einmal
> durch.
>
> > Aber wie gesagt, der Satz von Heine-Borel bringt bei uns
> > den Zusammenhang mit der "Überdeckungseigenschaft". Das
> > steht im Skript konkret so da, also muss ich ein
> > Gegenbeispiel finden, so dass die Überdeckungseigenschaft
> > nicht erfüllt ist, aber eine der beiden anderen
> > "Kompaktheiten" gilt.
>
> Nein. In jedem normierten Raum sind Folgenkompaktheit und
> Überdeckungskompaktheit äquivalent (was Fred schon
> geschrieben hat). Diese beiden (äquivalenten) Sachen sind
> eben im unendlich-dim. nicht äquivalent zu "beschränkt
> und abgeschlossen".
Ok, habe die Unterschiede verstanden. Danke dafür!
> > Und ich habe mir eben folgendes gedacht:
> > Die Menge [mm]\{(x^{(n)})\subset\IR| n\in\IN\}[/mm], [mm]x^{(n)} = (0,...,0,1,0,...,0,...)[/mm]
> > mit der 1 an der n-ten Stelle. Diese kann ich disjunkt
> > überdecken, und sie ist auch beschränkt. Aber ist sie
> > auch abgeschlossen?
> Sie ist auch abgeschlossen. Überlege dir dazu, dass für
> jedes x der Abstand zu der Menge echt größer 0 ist, also
> [m]\inf\{d(x,y)|y\in (x^{(n)})\}>0[/m] ist.
Ich verstehe das (leider) nicht.
"Für jedes x der Abstand zu der Menge echt größer 0 ist"...
Was genau würde ich damit beweisen? Dass das Komplement offen ist? Oder das keine Folge einen Grenzwert außerhalb der Menge haben kann?
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mi 12.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Was genau würde ich damit beweisen? Dass das Komplement
> offen ist?
Ja.
> Oder das keine Folge einen Grenzwert außerhalb
> der Menge haben kann?
Das ist äquivalent zu abgeschlossen in metrischen Räumen ...
SEcki
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Hallo,
[Huch! Mir ist gerade aufgefallen, dass ich aus Versehen deine Antwort bearbeitet habe, SEcki. Tut mir leid!]
danke für deine Antwort, SEcki.
Das Bild, was es für Zusammenhänge zwischen den ganzen Eigenschaften gibt und wann sie gelten, verdichtet sich bei mir
Trotzdem weiß ich nicht, wie ich zeigen soll, dass der Abstand eines Elementes aus [mm] y\in l_{2} [/mm] zu einem Element [mm] $x\in M:=\{x^{(n)}|n\in\IN\}$ [/mm] mit [mm] $x^{n} [/mm] = (0,...,0,1,0,...,0,...)$ mit 1 an der n-ten Stelle immer größer als 0 ist, bzw. dass das Infimum größer als Null ist.
Stimmt das wirklich?
Sei [mm] $y\in l_{2}$ [/mm] beliebig (außer [mm] y\in [/mm] M). Dann gilt
$||x-y|| = ...$
Ich weiß überhaupt nicht, was ich jetzt schreiben sollte. Es kann doch sein, dass y = [mm] (0,...,0,1+\varepsilon,0,...,0,...). [/mm] (an der n-ten Stelle). Dann hätte es doch aber einen beliebig kleinen Abstand zu [mm] x^{(n)} [/mm] ?
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Mi 12.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Stimmt das wirklich?
Ja.
> Ich weiß überhaupt nicht, was ich jetzt schreiben sollte.
> Es kann doch sein, dass y =
> [mm](0,...,0,1+\varepsilon,0,...,0,...).[/mm] (an der n-ten Stelle).
> Dann hätte es doch aber einen beliebig kleinen Abstand zu
> [mm]x^{(n)}[/mm] ?
Nein, zeige mir das der Abstand beliebig klein wird - vergiss nicht, dass dein y und damit [m]\varepsilon>0[/m] fest ist.
Eine Alternative: es ist M abgeschlossen falls der GW jeder Konvergenten Folge in M schon in M liegt. Jetzt untersuche mal, was konvergente Folgen in [m]x^{(n)}[/m] nur sein können.
SEcki
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Hallo SEcki,
danke für deine Antwort.
> > Ich weiß überhaupt nicht, was ich jetzt schreiben sollte.
> > Es kann doch sein, dass y =
> > [mm](0,...,0,1+\varepsilon,0,...,0,...).[/mm] (an der n-ten Stelle).
> > Dann hätte es doch aber einen beliebig kleinen Abstand zu
> > [mm]x^{(n)}[/mm] ?
>
> Nein, zeige mir das der Abstand beliebig klein wird -
> vergiss nicht, dass dein y und damit [m]\varepsilon>0[/m] fest
> ist.
Auf die Gefahr hin, mich zum Deppen zu machen:
[mm] ||x^{(n)} [/mm] - y|| = [mm] ||(0,...,0,\varepsilon,0,...,0,...)|| [/mm] = [mm] \sqrt{|\varepsilon|^{2}} [/mm] = [mm] \varepsilon.
[/mm]
Also kann ich doch y beliebig nahe an [mm] x^{(n)} [/mm] ranbekommen? Wie kann das Infimum da echt größer als Null sein?
> Eine Alternative: es ist M abgeschlossen falls der GW jeder
> Konvergenten Folge in M schon in M liegt. Jetzt untersuche
> mal, was konvergente Folgen in [m]x^{(n)}[/m] nur sein können.
Also:
Da ja (wie oben schon ausgewertet) die Folgen in M einen Abstand von [mm] \sqrt{2} [/mm] zueinander haben, kann man mit verschiedenen Elementen aus M nicht mal eine Cauchy-Folge bilden, also erst recht keine konvergente Folge. Das bedeutet, dass konvergente Folgen ab einem [mm] N\in\IN [/mm] konstant sein müssen.
Damit liegt der Grenzwert wieder in M.
(?)
Danke für die Hilfe 
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:07 Do 13.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Also kann ich doch y beliebig nahe an [mm]x^{(n)}[/mm] ranbekommen?
Mit beliebigen y ... nicht mit festem! Schau dir die Definition nochmal an - der Abstand von einem festen Punkt zu [mm]x^{(n)}[/mm]! Dein Epsilon ist Betrug - das variiert nicht, das ist fest. (In so fenr hast du dich schon zum Deppen gemacht, wenn du umbedingt willst. :p)
> Da ja (wie oben schon ausgewertet) die Folgen in M einen
> Abstand von [mm]\sqrt{2}[/mm] zueinander haben, kann man mit
> verschiedenen Elementen aus M nicht mal eine Cauchy-Folge
> bilden,
Doch ...
> also erst recht keine konvergente Folge. Das
> bedeutet, dass konvergente Folgen ab einem [mm]N\in\IN[/mm] konstant
> sein müssen.
Genau - aber konstante Folgen sind Cauchy-Folgen!
SEcki
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Hallo SEcki,
danke für deine Antwort!
> > Also kann ich doch y beliebig nahe an [mm]x^{(n)}[/mm] ranbekommen?
>
> Mit beliebigen y ... nicht mit festem! Schau dir die
> Definition nochmal an - der Abstand von einem festen Punkt
> zu [mm]x^{(n)}[/mm]! Dein Epsilon ist Betrug - das variiert nicht,
> das ist fest. (In so fenr hast du dich schon zum Deppen
> gemacht, wenn du umbedingt willst. :p)
Mmmh...
Ich mach' mich nur gern zum Deppen, wenn ich verstehe, warum.
Natürlich ist mir klar, dass jede [mm] y^{(n)} [/mm] an sich keinen beliebig kleinen Abstand zu [mm] x^{(n)} [/mm] haben kann. Wenn ich doch nun aber das Infimum bilde:
[mm] $\inf_{y\in l_{2}\textbackslash M} ||y-x^{(n)}|| [/mm] = 0$
dann lande ich doch bei 0, weil beim Infimum sehr wohl die [mm] \varepsilon [/mm] immer kleiner werden...(?)
> > Da ja (wie oben schon ausgewertet) die Folgen in M einen
> > Abstand von [mm]\sqrt{2}[/mm] zueinander haben, kann man mit
> > verschiedenen Elementen aus M nicht mal eine Cauchy-Folge
> > bilden,
>
> Doch ...
> > also erst recht keine konvergente Folge. Das
> > bedeutet, dass konvergente Folgen ab einem [mm]N\in\IN[/mm] konstant
> > sein müssen.
>
> Genau - aber konstante Folgen sind Cauchy-Folgen!
Ok, das ist klar
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Do 13.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Natürlich ist mir klar, dass jede [mm]y^{(n)}[/mm] an sich keinen
> beliebig kleinen Abstand zu [mm]x^{(n)}[/mm] haben kann. Wenn ich
> doch nun aber das Infimum bilde:
>
> [mm]\inf_{y\in l_{2}\textbackslash M} ||y-x^{(n)}|| = 0[/mm]
>
> dann lande ich doch bei 0, weil beim Infimum sehr wohl die
> [mm]\varepsilon[/mm] immer kleiner werden...(?)
Ja. Aber das ist völlig egal - les vielleicht noch einmal durch, was ich geschrieben habe, vor allem über was ich das Infimum bilde. Nicht über das, über das du hier das Infimum bildest.
SEcki
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Hallo SEcki,
jetzt habe ich verstanden,
warum es so ist, wie du behauptest.
Ok. - Jede Folge x hat also einen Abstand größer als Null zu jeder der Folgen der Menge M. Also ist auch das Infimum über die Menge [mm] \{d(x,y)|y\in(x^{(n)})\} [/mm] größer als Null.
Das ist mir jetzt klar.
Das bedeutet praktisch, das keine Folge "außerhalb" der Menge M ein Grenzwert von Folgen aus Elementen der Mengen M sein kann, stimmts?
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Do 13.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ok. - Jede Folge x hat also einen Abstand größer als
> Null zu jeder der Folgen der Menge M. Also ist auch das
> Infimum über die Menge [mm]\{d(x,y)|y\in(x^{(n)})\}[/mm] größer
> als Null.
Das ist zwar so, aber das folgt nicht aus dem erstem - die Menge M ist abgeschlossen genau dann wenn der Abstand für jeden Punkt außerhalb M zu M größer 0 ist.
> Das bedeutet praktisch, das keine Folge "außerhalb" der
> Menge M ein Grenzwert von Folgen aus Elementen der Mengen M
> sein kann, stimmts?
Ja, das folgt.
SEcki
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Ok,
danke SEcki für deine Geduld
Grüße,
Stefan
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