Bolzano-Weierstraß komplex < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Mi 09.12.2009 | | Autor: | S11m00n |
| Aufgabe | Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß im komplexen Fall:
Satz: Jede beschräkte Folge komplexer Zahlen (zn)n∈N besitzt eine konvergente Teilfolge.
Hinweis: Zeige durch Widerspruch, dass es ein z ∈ C gibt, so dass für alle ε > 0 gilt: es existieren unendlich viele Folgenglieder (znj)j∈N mit |znj −z|<ε |
Auch wenn hier im Forum generell ein Lösungsansatz erwartet wird kann ich leider keinen vorweisen.
Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand einen konkreten Ansatz liefern könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 Do 10.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß im komplexen Fall:
> Satz: Jede beschräkte Folge komplexer Zahlen (zn)n∈N
> besitzt eine konvergente Teilfolge.
>
> Hinweis: Zeige durch Widerspruch, dass es ein z ∈ C gibt,
> so dass für alle ε > 0 gilt: es existieren unendlich
> viele Folgenglieder (znj)j∈N mit |znj −z|<ε
Die Frage ist, was du voraussetzen kannst. Weisst du, wie kompakte Teilmengen von [mm] $\IC$ [/mm] aussehen (abgeschlossen und beschraenkt)? Dann kannst du wie folgt argumentieren: wenn es keinen Haeufungspunkt gibt, gibt es zu jedem $z [mm] \in \IC$ [/mm] ein [mm] $\varepsilon_z [/mm] > 0$ so, dass nur endlich viele Folgenglieder $|z - [mm] z_n| [/mm] < [mm] \varepsilon_z$ [/mm] erfuellen. Sei $B$ eine beschraenkte Menge, die die Folge enthaelt; dann gilt [mm] $\overline{B} \subseteq \bigcup_{z \in \overline{B}} B_{\varepsilon_z}(z)$. [/mm] Da [mm] $\overline{B}$ [/mm] kompakt ist (beschraenkt + abgeschlossen) reicht somit eine endliche Auswahl $E [mm] \subseteq \overline{B}$ [/mm] (also $|E| < [mm] \infty$ [/mm] und [mm] $\overline{B} \subseteq \bigcup_{z \in E} B_{\varepsilon_z}(z)$). [/mm] Da jede solche [mm] $\varepsilon_z$-Umgebung [/mm] nur endlich viele Folgenglieder enthaelt, enthaelt $B$ also nur endlich viele Folgenglieder -- ein Widerspruch.
Aber ich wuerde das eher auf Bolzano-Weierstrass fuer [mm] $\IR$ [/mm] zurueckfuehren. Betrachte erst die Folge [mm] $(\Re z_n)_{n\in\IN}$; [/mm] diese ist in [mm] $\IR$ [/mm] beschraenkt, womit es eine konvergente Teilfolge gibt, sagen wir [mm] $(\Re z_{k(n)})_{n\in\IN}$ [/mm] mit Grenzwert [mm] $\sigma$. [/mm] Betrachte nun [mm] $(\Im z_{k(n)})_{n\in\IN}$; [/mm] dies ist eine beschraenkte Folge in [mm] $\IR$, [/mm] womit es eine Teilfolge [mm] $(\Im z_{k(\ell(n))})_{n\in\IN}$ [/mm] gibt die gegen ein [mm] $\tau \in \IR$ [/mm] konvergiert.
Dann kannst du leicht zeigen, dass [mm] $(z_{k(\ell(n))})_{n\in\IN}$ [/mm] gegen [mm] $\sigma [/mm] + i [mm] \tau$ [/mm] konvergiert.
LG Felix
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