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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Mi 04.01.2006 | | Autor: | dump_0 |
Hallo Gemeinde.
Ist [tex](D_4, |)[/tex] ein boolescher Verband ? ([tex]D_4 = {1,2,4}[/tex]).
Da der Verband komplementär sein muss, muss für 2 Elemente gelten, das das inf dieser 2 Elemente das Nullelement ist. Das ist ja hier schon der Fall, aber nicht im Sinne eines Komplements, da es ja nur 3 Elemente gibt.
Ist es dann richtig das es kein boolescher Verband ist ??
Dann habe ich noch einen schönen Beweis:
Ist a ein Atom eines Booleschen Verbands (M, R) und b ein bel. Element der Menge M, dann gilt:
a ist unmittelbarer Vorgänger von b oder
a ist unmittelbarer Vorgänger von [tex]\overline{b}[/tex].
Hier habe ich leider keine wirklich Ahnung wie ich das angehen soll :-?
Gruß
[mm] dump_0
[/mm]
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Hallo,
zur ersten Frage: meiner Ansicht nach liegst Du richtig: [mm] D_4 [/mm] ist aus dem von Dir beschriebenen Grund kein Boole'scher Verband. Formal: Es koennte, wenn es Boole'scher Verband waere, nicht [mm] \overline{2}=2 [/mm] sein, also muesste [mm] \overline{2}=1 [/mm] oder = 4 sein, beides
fuehrt zum Widerspruch mit
[mm] \overline{x}\wedge [/mm] x = 0 respektive [mm] \overline{x}\vee [/mm] x =1.
Zur Frage mit den Atomen (es ist eine Frage, noch kein Beweis):
Falls a ein Atom ist, muessen
[mm] a\wedge b\in \{0,a\} [/mm] und [mm] a\wedge\overline{b}\in\{0,a\} [/mm] gelten.
Dass beide Werte 0 sind, fuehrt zum Widerspruch, ebenso, dass beide gleich a sind. Also ist genau einer gleich a und einer gleich 0.
Also ist genau eines der beiden Elemente gleich a oder groesser a. Dass es direkter
Nachfolger sein muss, kann man wohl allgemein nicht sagen, da ja Potenzmengenverbaende Boole'sche Verbaende sind.
Gruss,
Mathias
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