Borel-Cantelli < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 So 29.04.2007 | | Autor: | Gero |
| Aufgabe | Herr Müller kauft sich in jedem Jahr 2000+n (n [mm] \ge [/mm] 7) genau eines von [mm] k_n [/mm] Losen in der Lotterie. Genau eines dieser [mm] k_n [/mm] Lose ist jeweils ein Gewinnlos, die anderen [mm] k_n [/mm] − 1 Lose sind Nieten. Nun steigt zwar der ausgeschüttete Gewinn jedes Jahr, doch steigt leider auch die
Gesamtanzahl der Lose, es ist nämlich [mm] k_n [/mm] = [mm] n^2. [/mm] Wie oft wird er das Gewinnlos kaufen? Nur endlich
oft oder unendlich oft? |
So, hallo, ich bin´s gleich nochmal.
Ich brüte jetzt grad über dieser Aufgabe und würde gern wissen, ob meine Lösung so stimmt. Die kommt mir näcmlich so kurz vor.
Im n-ten Jahr sind also [mm] n^2 [/mm] Lose im Spiel. Also ist die W´keit [mm] 1/{n^2}. [/mm] Für die Summe [mm] \summe_{n=7}^{\infty} \bruch{1}{n^2} [/mm] gilt ja, dass sie konvergiert. Mit dem Integralkriterium folgt ja: [mm] \integral_{7}^{\infty}{\bruch{1}{n^2} dn} [/mm] = [mm] \bruch{1}{7} \Rightarrow \summe_{n=7}^{\infty} \bruch{1}{n^2} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
Damit folgt ja aus Borel-Cantelli, dass die W´keit gegen 0 geht und dass er also nur endlich oft das Gewinner-Los ziehen kann, oder?
Gruß
Gero
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Aloha hé,
soweit ich Borell-Cantelli verstanden habe, hast du das korrekt berechnet. Alles andere als deine Antwort hätte mich auch stark gewundert. Wenn der gute Mann gerade nur immer eines der Lose je Jahr kauft... müsste er ja "von Prinzip her" unendlich alt werden, um auch unendlich oft das Los kaufen zu können.
Namaárie,
sagt ein Lary, wo dein Ergebnis einleuchtend findet
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