Borel-Cantelli < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | | Mit den Bezeichnungen des Lemmas von Borel-Cantelli seien die [mm] A_{n} [/mm] so vorgelegt, dass [mm] P(A_{n}) \ge \varepsilon [/mm] für ein festes [mm] \varepsilon [/mm] und alle n ist. Dann gilt auch P(A) [mm] \ge \varepsilon [/mm] |
Also soll [mm] P(A_{i}) \ge \varepsilon \forall [/mm] i gelten
[mm] P(A_{1}) \ge \varepsilon
[/mm]
[mm] P(A_{2}) \ge \varepsilon
[/mm]
[mm] P(A_{3}) \ge \varepsilon [/mm] ....
Laut definition ist A
A= [mm] \bigcap_{n \in \IN}^{} \bigcup_{i \ge n}^{} A_{i}
[/mm]
Ich kann mir das ja vereinfachen mit
A= [mm] \bigcap_{n \in \IN}^{} B_{n}
[/mm]
Aber wie komm ich denn da weiter? Könnte denn nicht A auch die leere Menge sein ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> A= $ [mm] \bigcap_{n \in \IN}^{} B_{n} [/mm] $
Jo, und welche Grenzwertsätze für Wmaße kennst Du?
Du willst hier
[mm] $P\left( \bigcap_{n=1}^\infty B_{n} \right)$
[/mm]
den Schnitt aus dem Wmaß ziehen.
> Könnte denn nicht A auch die leere Menge sein?
Da Du das Gegenteil beweisen sollst, kann ich hier mal spoilerfrei verraten, daß das nicht möglich ist.
Aber es wäre wahrscheinlich sehr hilfreich, wenn Du mal versuchst, entsprechende [mm] $A_n$ [/mm] zu konstruieren. Du denkst, daß es möglich ist, also müssen Dir ja irgendwelche [mm] $A_n$ [/mm] vorschweben, für die das gelten könnte. Dann schaust Du, warum sie die Vorbedingung nicht erfüllen.
Der Ansatz (also versuchen, ein Gegenbeispiel zu konstruieren) ist wirklich, wirklich hilfreich, wenn Du was verstehen willst.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Ayame |
> Jo, und welche Grenzwertsätze für Wmaße kennst Du?
Mir fällt nur ein dass wenn ich P von disjunkten Vereinigungen wissen möchte kann ich die einzelnen Wahrscheinlichkeiten addieren:
[mm] P(\bigcup_{n}^{*} A_{n}) [/mm] = [mm] \summe_{n}^{} P(A_{n})
[/mm]
Aber das hilft mir leider nicht weiter.
> Du willst hier
> [mm]P\left( \bigcap_{n=1}^\infty B_{n} \right)[/mm]
> den Schnitt
> aus dem Wmaß ziehen.
> Könnte A nicht die leere Menge sein ?
Aber nur weil [mm] A=\emptyset [/mm] weißt es doch nicht dass P(A) [mm] \ge \varepsilon, [/mm] da [mm] \varepsilon [/mm] eine feste zahl größer Null ist.
[mm] P(A_{n}) \ge \varepsilon [/mm] soll ja gelten aber es kann doch auch [mm] \varepsilon [/mm] > P(A) >0 gelten, oder?
Daher reicht das ausschließen der leeren Menge für A nicht, oder?
LG Ayame
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Mir fällt nur ein dass wenn ich P von disjunkten Vereinigungen wissen möchte kann ich die einzelnen Wahrscheinlichkeiten addieren
da hattet Ihr mehr. Vorlesung, Übung, was auch immer (Einführungsvorlesung?). Du kannst mir nicht erzählen, daß Ihr bis zu Borel-Cantelli gekommen seit, ohne jemals ein paar Eigenschaften von Wmaßen behandelt zu haben. =)
> Aber nur weil $ [mm] A=\emptyset [/mm] $ weißt es doch nicht dass P(A) $ [mm] \ge \varepsilon, [/mm] $ da $ [mm] \varepsilon [/mm] $ eine feste zahl größer Null ist.
> $ [mm] P(A_{n}) \ge \varepsilon [/mm] $ soll ja gelten aber es kann doch auch $ [mm] \varepsilon [/mm] $ > P(A) >0 gelten, oder?
1. [mm] $P(\emptyset) [/mm] = 0$ (wieso?)
2. Selbst wenn $P(A)>0$: gilt [mm] $a_i\in\IR$, $a_i\geq \varepsilon$ [/mm] und [mm] $a_i\to [/mm] a$, für [mm] $i\to\infty$, [/mm] dann kann nicht [mm] $a<\varepsilon$ [/mm] sein. Das folgt direkt aus der Definition der Folgenkonvergenz in Analysis.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Ayame |
> da hattet Ihr mehr. Vorlesung, Übung, was auch immer
> (Einführungsvorlesung?). Du kannst mir nicht erzählen,
> daß Ihr bis zu Borel-Cantelli gekommen seit, ohne jemals
> ein paar Eigenschaften von Wmaßen behandelt zu haben. =)
Wir hatte so grundlegende sachen
1. P(Omega)=1
2. E [mm] \subset [/mm] F [mm] \Rightarrow [/mm] P(E) < P(F)
Aber wie soll mir das weiterhelfen ?
Irgendwie hab ich da ein brett vorm kopf :(
> 1. [mm]P(\emptyset) = 0[/mm] (wieso?)
Ich kann Omega als disjunkte vereinigung beschreiben:
Omega = Omega [mm] \cup \emptyset \cup \emptyset...
[/mm]
P(Omega)=P(Omega) + [mm] P(\emptyset)+P(\emptyset)+...
[/mm]
[mm] 1=1+P(\emptyset)+P(\emptyset)+...
[/mm]
[mm] \Rightarrow P(\emptyset)=0
[/mm]
> 2. Selbst wenn [mm]P(A)>0[/mm]: gilt [mm]a_i\in\IR[/mm], [mm]a_i\geq \varepsilon[/mm]
> und [mm]a_i\to a[/mm], für [mm]i\to\infty[/mm], dann kann nicht
> [mm]a<\varepsilon[/mm] sein. Das folgt direkt aus der Definition der
> Folgenkonvergenz in Analysis.
OK das ist mir klar.
Was wäre wenn ich es mal so versuche:
Ich will ja sagen dass [mm] P(\bigcap_{n \in \IN}^{} B_{n}) \ge \varepsilon
[/mm]
[mm] \bigcap_{}^{} B_{n} [/mm] = [mm] \{w : w \in B_{n} für unendl viele n\}:=A
[/mm]
Also ist A [mm] \subset B_{n} [/mm]
Also ist A [mm] \subset \bigcup_{}^{} A_{i}
[/mm]
Und da es ja unendlich viele [mm] A_{i} [/mm] ist die Wahrscheinlichkeit fast 1 dass eins der [mm] A_{i}=A [/mm] ist.
und da für alle [mm] P(A_{i}) \ge \varepsilon [/mm] gilt , so gilt das auch für A.
[mm] \Rightarrow [/mm] P(A) [mm] \ge \varepsilon
[/mm]
Geht das so ?
LG Ayame
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
die Eigenschaft heißt Stetigkeit von oben:
Ist eine absteigende Folge von Mengen aus (d.h. für alle ) mit und ist , so ist .
Sie sagt mehr oder weniger exakt, was Du brauchst.
> $ [mm] \Rightarrow P(\emptyset)=0 [/mm] $
Richtig.
> Und da es ja unendlich viele $ [mm] A_{i} [/mm] $ ist die Wahrscheinlichkeit fast 1 dass eins der $ [mm] A_{i}=A [/mm] $ ist.
Der Schluß ist falsch (Gegenbeispiel?), davor stimmt alles.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Ayame |
Wieso denn [mm] B_{i} \subseteq B_{j} [/mm] für i [mm] \le [/mm] j ??
OK hast du schon geändert :)
Stetigkeit von unten
Ist [mm] A_{n} \subseteq A_{n+1}, [/mm] so gilt: [mm] \mu(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty} \mu(A_{n})
[/mm]
Stetigkeit von oben
Ist [mm] A_{n+1} \subseteq A_{n}, [/mm] so gilt: [mm] \mu(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty} \mu(A_{n})
[/mm]
[mm] >\bigcap_{}^{}\bigcup_{}^{} A_{n}=\bigcap_{}^{} B_{n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \mu(B_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty} \mu( \bigcup_{}^{} A_{n})= \mu(Omega) [/mm] ??
irgendwie ist das quark :(
LG Ayame
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Wieso denn $ [mm] B_{i} \subseteq B_{j} [/mm] $ für i $ [mm] \le [/mm] $ j ??
weil ich's aus wikipedia kopiert hatte, und man wikipedia nicht trauen sollte. Das nennt sich dann teachable moment. =)
> irgendwie ist das quark :(
??
[mm] $P(A)=P\left(\bigcap_{i\in\IN}B_i\right) [/mm] = [mm] \lim_{i\to\infty} P(B_i)\geq\varepsilon [/mm] $ (wieso?)
ciao
Stefan
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