Borel Cantelli/bew/verständnis < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Do 02.05.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Seien [mm] A_1 ,A_2 [/mm] ,.., [mm] \in [/mm] A und sei [mm] A_\infty [/mm] = [mm] \bigcap_{n} (\bigcup_{k\ge n} A_k)) [/mm] ="unendlich viele [mm] A_k [/mm] treten ein.
a) Wenn [mm] \sum_{k=1}^\infty P(A_k) [/mm] < [mm] \infty [/mm] , dann [mm] P(A_\infty)=0
[/mm]
b) Wenn [mm] \sum_{k=1}^\infty P(A_k) [/mm] = [mm] \infty [/mm] und [mm] (A_i)_{i\ge1} [/mm] unabhängig, dann P( [mm] A_\infty [/mm] )=1 |
Hallo
1)Ich verstehe nicht was es mit: [mm] A_\infty [/mm] = [mm] \bigcap_{n} (\bigcup_{k\ge n} A_k [/mm] )) auf sich hat. Wie kann ich mir dieses Konstrukt vorstellen. Wieso beschreibt es, dass unendlich viele [mm] A_k [/mm] auftreten?
Sollen mir a) und b) eine wichtige Regel sagen? Das Bsp. sieht sehr gekünstelt aus..Jedoch hat der Prof. immer wieder betont, wie wichtig es doch ist..
2)Auch der Beweis zum Punkt b) hab ich in der Vorlesung nicht verstanden..
[mm] P(\bigcap_{k\ge n} A_k^c) [/mm] = [mm] lim_{m->\infty} [/mm] P( [mm] \bigcap_{k=n}^m A_k^c) [/mm] = [mm] lim_{m->\infty} \prod_{k=n}^m P(A^c_k) [/mm] = [mm] \prod_{k\ge n} [/mm] (1- [mm] P(A_k)) \le e^{-\sum_{k \ge n} P(A_k)} [/mm] =0
Daher [mm] P(A_\infty^c) [/mm] = P(= [mm] \bigcap_{n} (\bigcup_{k\gen} A_k^c)) [/mm] <= [mm] \sum_n P(\bigcap_{k\ge n} A_k^c) [/mm] =0
> [mm] P(\bigcap_{k\ge n} A_k^c) [/mm] = [mm] lim_{m->\infty} [/mm] P( [mm] \bigcap_{k=n}^m A_k^c) [/mm]
Ich versteh hier schon die erste Gleichheit nicht!
Der nächste Schritt nutzt die Unabhängigkeit der [mm] A_i [/mm] aus.
Der nächste SChritt arbeitet über der gegenwahrscheinlichkeit.
ABer dann:
[mm] \prod_{k\ge n} [/mm] (1- [mm] P(A_k)) \le e^{-\sum_{k \ge n} P(A_k)} [/mm]
ist mir wieder nicht klar.
Rest ist klar.
2 Unklarheit:
Allgemein: 1-x [mm] \le e^{-x} [/mm] wobei x [mm] \in [/mm] [0,1]
[mm] \frac{exp(x)-1}{x-0}=exp(\xi) \ge [/mm] 1 weil [mm] 0<\xi
exp(x) [mm] \ge [/mm] x +1
Wie krieg ich das mit Minus hin?
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1)
Zur Anschauung:
Sei [mm]A_n[/mm] das Ereignis, dass im [mm]n[/mm]-ten Würfeln eine Sechs auftritt, also für [mm]\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}^\IN[/mm] ist [mm]A_n=\{\omega\in\Omega\; |\; w_n=6\}[/mm].
Wenn jetzt nun unendlich oft eine Sechse gewürfelt werden soll, so tritt das Ereignis
[mm]\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_k[/mm] = [mm]A_k[/mm] unendlich oft = [mm]\limsup_{n\to \infty} A_n[/mm]
ein.
Jetzt nimmt man sich ein [mm]x\in \blue{\bigcap_{n=1}^\infty}\red{\bigcup_{k=n}^\infty} A_k[/mm] her. Also liegt das [mm]x[/mm] in jeder Vereinigung [mm]\bigcup_{k=n}^\infty A_k[/mm] - egal wie groß [mm]n[/mm] ist. Du wirst immer für ein beliebiges [mm]n[/mm] ein [mm]k\ge n[/mm] finden, sodass [mm]x[/mm] in [mm]A_k[/mm] liegt. Jetzt schneidet man über all die [mm]n[/mm]'s. Ergo: [mm]A_k[/mm] tritt unendlich oft ein, denn für jedes n tritt mindestens einmal [mm]A_k[/mm] auf.
2)
Dieses [mm]\sum_{k\ge n},\bigcap_{k\ge n},\prod_{k\ge n}[/mm] ist immer eine abkürzende Schreibweise für [mm]\sum_{k= n}^\infty,\bigcap_{k= n}^\infty,\prod_{k= n}^\infty[/mm]. Und dass wiederum ist eine symbolische Schreibweise für [mm]\lim_{m\to\infty}\sum_{k=n}^m,\lim_{m\to\infty}\bigcap_{k=n}^m,\lim_{m\to\infty}\prod_{k=n}^m[/mm].
Also hat man im ersten Schritt es nur umgeschrieben.
Ausführlicher gerechnet ist
[mm]\lim_{m->\infty} \prod_{k=n}^m P(A^c_k)=\lim_{m->\infty} \prod_{k=n}^m (1-P(A_k))=\lim_{m->\infty} \exp\left(\sum_{k=n}^m \log (1-P(A_k))\right)\leq \lim_{m->\infty} \exp\left(-\sum_{k=n}^m P(A_k)\right)[/mm]
Es gilt doch für positive zahlen [mm]\exp(\log x)=x[/mm] und für [mm]x\in [0,1][/mm] auch [mm]%2525255Clog%25252520(1-x)%2525255Cleq%25252520-x[/mm][mm]\log (1-x)\leq -x[/mm].
>
> 2 Unklarheit:
> Allgemein: 1-x [mm]\le e^{-x}[/mm] wobei x [mm]\in[/mm] [0,1]
> [mm]\frac{exp(x)-1}{x-0}=exp(\xi) \ge[/mm] 1 weil [mm]0<\xi
> exp(x) [mm]\ge[/mm] x +1
> Wie krieg ich das mit Minus hin?
Schau mal hier :
https://matheraum.de/forum/Mittelwertsatz_anwenden/t751348
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 Do 02.05.2013 | | Autor: | sissile |
danke für die Erklärung
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Do 02.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> > [mm]P(\bigcap_{k\ge n} A_k^c)[/mm] = [mm]lim_{m->\infty}[/mm] P(
> [mm]\bigcap_{k=n}^m A_k^c)[/mm]
> Ich versteh hier schon die erste Gleichheit nicht!
Da wird die $P$-Stetigkeit ausgenutzt.
Viele Grüße
Tobias
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