Borelalgebra monotone Funktion < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Mo 03.01.2011 | | Autor: | aly19 |
hi, ich hab hier folgende aufgabe:
Es sei f: [mm] \IR-\IR [/mm] eine monotone Funktion. Zeigen Sie, dass f messbar ist bezüglich der Borelalgebra auf [mm] \IR.
[/mm]
Ich habe da was im Internet zu gefunden:![[]](/images/popup.gif) Link-Text
(Hoffe man kann da rauf klicken.)
3. Seite Aufgabe 9 ist das.
Leider verstehe ich das nciht so ganz.
Also erstmal verstehe ich nicht, wieso die Borelalgebra auf [mm] \IR [/mm] von den Intervallen der Form [mm] [a,\infty) [/mm] erzeugt wird. Eigentlich wird doch eine Borelalgebra von einer Topologie erzeugt. Wenn man die Standardtopologie auf [mm] \IR [/mm] nimmt also doch von allen offenen Intervallen in [mm] \IR [/mm] oder?
Kann mir das jemand erklären?
Und zum Erzeugnis allgemein hab ich noch ne Frage. Wieso reicht es aus, dass für die erzeugenden Mengen zu zeigen? Ich weiß zum Beispiel das bei einer Topologie um Stetigkeit zu zeigen, nur die Basiselemente betrachtet werden müssen. Aber bei einer Algebra gibt es ja keine Basis und ich finde auch nirgends einen Satz, der besagt das es ausreicht die Mengen zu betrachten, die die Algebra erzeugen.
Wäre super, wenn mir jemand helfen kann.
Viele Grüße alyyy :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Mo 03.01.2011 | | Autor: | pelzig |
1) Die Menge der halboffenen Intervalle erzeugt dieselbe [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] wie die Menge der offenen Mengen, denn: Einerseits liegt jedes halboffene Intervall in der Menge der Borelmengen, [mm] denn[center]$[a,\infty)=\bigcap_{n\in\IN}(a-1/n,\infty)$
[/mm]
[/center]Zum anderen kann ich jedes offene Intervall in der [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] der halb-offenen Intervalle, also auch jede offene Menge, denn [mm] $\IR$ [/mm] ist zweit-abzählbar.
Das andere findest du in jedem Buch über Maßtheorie, z.B. Elstrodt...
Gruß, Robert
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Huhu,
wieso die Borel-Algebra von den Intervallen dieser Form erzeugt wird, hat pelzig dir ja bereits erklärt.
Als Hinweis von mir: Sie wird sogar von allen Intervallen beliebiger Form erzeugt.
Kannst du als Übung ja mal zeigen.
Zu deiner Aufgabe: Wieso es ausreicht die Erzeugermenge zu betrachte, liegt an der Erhaltung von Mengenoperationen durch Urbilder.
d.h. z.B. [mm] $f^{-1}\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^\infty f^{-1}(A_i)$
[/mm]
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 00:27 Di 04.01.2011 | | Autor: | pelzig |
> Zu deiner Aufgabe: Wieso es ausreicht die Erzeugermenge zu
> betrachte, liegt an der Erhaltung von Mengenoperationen
> durch Urbilder.
Das ist leider nicht korrekt, bzw. nur die halbe Wahrheit. Wenn [mm]\mathcal{S}\subset\mathcal{P}(Y)[/mm] ein Mengensystem ist und [mm]\mathcal{B}:=\mathcal{A}_\sigma(\mathcal{S})[/mm] die von [mm]\mathcal{S}[/mm] erzeugte [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist, dann lässt sich eben nicht jedes Element [mm]B\in\mathcal{B}[/mm] einfach schreiben als abzählbare Vereinigung von Elementen aus [mm]\mathcal{S}[/mm] oder ähnliches. Oder anders gesagt: Es gibt i.A. keine explizite Darstellung der von einem Mengensystem erzeugten [mm]\sigma[/mm]-Algebra, im Gegensatz z.B. zu der von einem Mengesystem erzeugten Topologie. Um die Aussage zu beweisen, benutzt man normalerweise das "Prinzip der guten Mengen":
Sei [mm]f:(X,\mathcal{A})\to(Y,\mathcal{B})[/mm] eine Abbildung zwischen Maßräumen, [mm]\mathcal{B}=\mathcal{A}_\sigma(\mathcal{S})[/mm] und [mm]f^{-1}(\mathcal{S})\subset\mathcal{A}[/mm]. Dann betrachte die Menge der "guten Mengen"
[mm]\mathfrak{M}:=\{B\subset Y\mid f^{-1}(B)\in\mathcal{A}\}[/mm]Wir wollen natürlich zeigen dass [mm]\mathcal{B}\subset\mathfrak{M}[/mm] gilt. Nun kann man aber direkt nachprüfen, dass [mm]\mathfrak{M}[/mm] eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra auf [mm]Y[/mm] definiert, die nach Voraussetzung [mm]\mathcal{S}\subset\mathfrak{M}[/mm] erfüllt. Also gilt [mm]\mathcal{B}=\mathcal{A}_\sigma(\mathcal{S})\subset\mathcal{A}_\sigma(\mathfrak{M})=\mathfrak{M}[/mm], q.e.d.
Gruß, Robert
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Hallo Robert 
mein Hinweis sollte auch keinen "direkten" Weg darstellen, ganz zu schweigen von einem möglichen Beweis, sondern einzig einen Hinweis geben, was man dazu benötigt.
Und jetzt würde ich gern mal sehen, wie du beweist, dass deine vorgegebene Menge ein [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist, ohne meinen Hinweis zu benutzen
Liebe Grüße,
Gono.
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 01:18 Di 04.01.2011 | | Autor: | pelzig |
Ich wollte eigentlich nur ein bischen klugscheißen
Viele Grüße,
Robert
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