Borelmengen und Lebesguemaß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 So 13.02.2011 | | Autor: | lilalulu |
| Aufgabe | Begründen Sie, dass folgende Mengen A [mm] \subset \IR^{2} [/mm] Borelmengen sind und bestimmen Sie [mm] \lambda^{2}(A):
[/mm]
a) [mm] A=\{(x,y) \in [0,1]^{2}: 0\le y\le x^{2} \}
[/mm]
b) [mm] A=\{(x,y) \in [0,1]^{2}: x,y \in \IR \setminus \IQ \}
[/mm]
c) [mm] A=\{(x,y) \in [0,1]^{2}: x>y\} [/mm] |
Hallo!
Ich habe versucht die oben stehende Aufgabe zu lösen. Da ich allerdings unsicher bin, ob die Lösung so okay ist, würde ich mich freuen, wenn sich jemand mal meine Idee angucken könnte :)
zu a)
1) A Borelmenge
- y [mm] \in [/mm] [0,1] [mm] \cap [0,x^{2}]
[/mm]
=> Schnitte abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen
- x [mm] \in [/mm] [0,1] (offensichtlich abgeschlossen in [mm] \IR)
[/mm]
- Kreuzprodukte abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen
=> A abgeschlossen
=> abgeschlossene Mengen sind Borelmengen => A Borelmenge
2) [mm] \lambda^{2}(A)= \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{x^{2}}{1 dy} dx}=\integral_{0}^{1}{x^{2} dx}=\bruch{1}{3}
[/mm]
zu b)
1) A Borelmenge
[mm] \IR \setminus \IQ [/mm] = [mm] \IR \cap \overline{\IQ}
[/mm]
[mm] \IR [/mm] ist offen und [mm] \overline{\IQ} [/mm] ist als Komplement einer abgeschlossenen Mengen auch offen.
=> A offene Mengen => A Borelmenge
2) [mm] \lambda^{2}(A):
[/mm]
2 [mm] \le \integral_{\IR \setminus \IQ}{Indikatorfunktion[0,1] d(x,y)} \le \integral_{\IR }{Indikatorfunktion[0,1] d(x,y)} [/mm] - [mm] \integral_{\IQ}{Indikatorfunktion[0,1] d(x,y)}
[/mm]
= [mm] \integral_{\IR }{Indikatorfunktion[0,1] d(x,y)} [/mm] = 2
=> [mm] \lambda^{2}(A)=2
[/mm]
zu c)
1) A Borelmenge
x [mm] \in (-\infty,\infty) [/mm] (offen)
y [mm] \in (-\infty, [/mm] x) (offen)
=> Kreuzprodukt offener Mengen ist offen
=> Offene Mengen sind Borelmengen => A Borelmenge
2) [mm] \lambda^{2}(A)= \integral_{-\infty}^{x}{\integral_{-\infty}^{\infty}{1 dx} dy} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Ich entschuldige mich schon mal für die hässliche Schreibweise der Indikatorfunktion, aber ich habe leider nicht die "echte" Schreibweise gefunden :(
Wie bereits geschrieben würde ich mich sehr freuen, wenn jemand sich die Lösung anschauen könnte und bedanke mich im Vorraus!
[Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.]
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Huhu,
dann wollen wir mal:
> zu a)
>
> 1) A Borelmenge
>
> - y [mm]\in[/mm] [0,1] [mm]\cap [0,x^{2}][/mm]
> => Schnitte abgeschlossener
> Mengen sind abgeschlossen
> - x [mm]\in[/mm] [0,1] (offensichtlich abgeschlossen in [mm]\IR)[/mm]
> - Kreuzprodukte abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen
> => A abgeschlossen
Die Folgerung ist soweit noch nicht sofort klar.
Du hast bisher nämlich nur gezeigt, dass die Menge
[mm] $A_x [/mm] = [mm] \{(x,y) \in [0,1]^2 \,:\; 0 \le y \le x^2\}$ [/mm] meßbar ist für ein festes [mm] $x\in [/mm] [0,1]$.
Dir fehlt da noch der Zusammenhang zwischen den [mm] A_x [/mm] und A.
> 2) [mm]\lambda^{2}(A)= \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{x^{2}}{1 dy} dx}=\integral_{0}^{1}{x^{2} dx}=\bruch{1}{3}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zu b)
>
> 1) A Borelmenge
>
> [mm]\IR \setminus \IQ[/mm] = [mm]\IR \cap \overline{\IQ}[/mm]
> [mm]\IR[/mm] ist offen
> und [mm]\overline{\IQ}[/mm] ist als Komplement einer abgeschlossenen
> Mengen auch offen.
Ja, geht auch schneller: [mm] \IR [/mm] borelsch, [mm] \IQ [/mm] borelsch, fertig.
> => A offene Menge
Moment, moment: Es gilt ja NICHT $A = [mm] \IR\setminus\IQ$, [/mm] hier fehlen also auch noch einige Begründungen.
Du hast gezeigt, dass [mm] $\IR\setminus\IQ$ [/mm] borelsch ist, aber nun?
> 2) [mm]\lambda^{2}(A):[/mm]
> 2 [mm]\le \integral_{\IR \setminus \IQ}{Indikatorfunktion[0,1] d(x,y)} \le \integral_{\IR }{Indikatorfunktion[0,1] d(x,y)}[/mm]
> - [mm]\integral_{\IQ}{Indikatorfunktion[0,1] d(x,y)}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{\IR }{Indikatorfunktion[0,1] d(x,y)}[/mm] = 2
> => [mm]\lambda^{2}(A)=2[/mm]
Vorweg: Indikatorfunktion schreibt man mit 1_{[0,1]}.
Raus kommt dann [mm] $1_{[0,1]}$.
[/mm]
Nun weiter: Wie kommst du auf die 2?
Es gilt [mm] $\lambda\left([0,1]^2\right) [/mm] = 1$
Bedenke [mm] $\lambda(\IQ) [/mm] = 0$.
Und nun versuch A mal mithilfte von [mm] $[0,1]^2$ [/mm] und [mm] $\IQ$ [/mm] darzustellen.
> zu c)
>
> 1) A Borelmenge
>
> x [mm]\in (-\infty,\infty)[/mm] (offen)
> y [mm]\in (-\infty,[/mm] x) (offen)
> => Kreuzprodukt offener Mengen ist offen
> => Offene Mengen sind Borelmengen => A Borelmenge
Wie kommst du hier auf die Unendlichkeiten? Es gilt doch wieder (wie bei allen Aufgaben) [mm] $A\subset [0,1]^2$ [/mm] !
> 2) [mm]\lambda^{2}(A)= \integral_{-\infty}^{x}{\integral_{-\infty}^{\infty}{1 dx} dy}[/mm]
> = [mm]\infty[/mm]
Analog hier: Die Grenzen sind falsch. Bei der a) hast dus noch korrekt gemacht, und hier nicht mehr?
Abgeschrieben? 
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 So 13.02.2011 | | Autor: | lilalulu |
Erstmal vielen Dank!
> Die Folgerung ist soweit noch nicht sofort klar.
> Du hast bisher nämlich nur gezeigt, dass die Menge
>
> [mm]A_x = \{(x,y) \in [0,1]^2 \,:\; 0 \le y \le x^2\}[/mm] meßbar
> ist für ein festes [mm]x\in [0,1][/mm].
>
> Dir fehlt da noch der Zusammenhang zwischen den [mm]A_x[/mm] und A.
Hm, ja das stimmt wohl...aber wie könnte ich den Zusammenhang hinbekommen? Ich hab leider keine wirkliche Idee :( [Das gleiche Problem habe ich bei den fehlenden Begründungen bei b) und c)]
> Nun weiter: Wie kommst du auf die 2?
> Es gilt [mm]\lambda\left([0,1]^2\right) = 1[/mm]
> Bedenke
> [mm]\lambda(\IQ) = 0[/mm].
> Und nun versuch A mal mithilfte von
> [mm][0,1]^2[/mm] und [mm]\IQ[/mm] darzustellen.
Äh ja, ich weiß auch nicht so richtig, was ich da mit der zwei wollte. Aber kann ich das nicht praktisch analog mit einer 1 machen? Der Grundgedanke war, dass das Maß von [mm] [0,1]^{2} [/mm] ja 1 ist, dann nehme ich was raus (es wird also kleiner). Ich kann das dann spalten (wie ich es geschrieben habe), weil die Mengen nicht disjunkt sind, ziehe ich jetzt evt. wieder zu viel ab (das zweite kleiner) und dann hab ich 1 [mm] \le \lambda^{2}(A) \le [/mm] 1?
> Wie kommst du hier auf die Unendlichkeiten? Es gilt doch
> wieder (wie bei allen Aufgaben) [mm]A\subset [0,1]^2[/mm] !
Ja, da hab ich leider wohl zu viel kopiert :( Tut mir leid! Die korrekte Aufgabenstellung wäre:
A={(x,y) [mm] \in \IR^{2}: [/mm] x > y}
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:59 So 13.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal vielen Dank!
>
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> > Die Folgerung ist soweit noch nicht sofort klar.
> > Du hast bisher nämlich nur gezeigt, dass die Menge
> >
> > [mm]A_x = \{(x,y) \in [0,1]^2 \,:\; 0 \le y \le x^2\}[/mm] meßbar
> > ist für ein festes [mm]x\in [0,1][/mm].
> >
> > Dir fehlt da noch der Zusammenhang zwischen den [mm]A_x[/mm] und A.
>
> Hm, ja das stimmt wohl...aber wie könnte ich den
> Zusammenhang hinbekommen? Ich hab leider keine wirkliche
> Idee :( [Das gleiche Problem habe ich bei den fehlenden
> Begründungen bei b) und c)]
Zeige doch direkt, dass A abgeschlossen ist. Z.B. so: ist [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] eine konvergente Folge in A, so gehört auch ihr Limes dazu.
>
>
>
> > Nun weiter: Wie kommst du auf die 2?
> > Es gilt [mm]\lambda\left([0,1]^2\right) = 1[/mm]
> > Bedenke
> > [mm]\lambda(\IQ) = 0[/mm].
> > Und nun versuch A mal mithilfte von
> > [mm][0,1]^2[/mm] und [mm]\IQ[/mm] darzustellen.
>
> Äh ja, ich weiß auch nicht so richtig, was ich da mit der
> zwei wollte. Aber kann ich das nicht praktisch analog mit
> einer 1 machen? Der Grundgedanke war, dass das Maß von
> [mm][0,1]^{2}[/mm] ja 1 ist, dann nehme ich was raus (es wird also
> kleiner). Ich kann das dann spalten (wie ich es geschrieben
> habe), weil die Mengen nicht disjunkt sind, ziehe ich jetzt
> evt. wieder zu viel ab (das zweite kleiner) und dann hab
> ich 1 [mm]\le \lambda^{2}(A) \le[/mm] 1?
Setze [mm] $B=\{(x,y) \in [0,1]^{2}: x,y \in \IQ \} [/mm] $
Dann sind A und B disjunkt und A [mm] \cup [/mm] B = [mm] [0,1]^{2}
[/mm]
Was ist [mm] \lambda^2(B) [/mm] ?
>
>
> > Wie kommst du hier auf die Unendlichkeiten? Es gilt doch
> > wieder (wie bei allen Aufgaben) [mm]A\subset [0,1]^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
!
>
> Ja, da hab ich leider wohl zu viel kopiert :( Tut mir leid!
> Die korrekte Aufgabenstellung wäre:
>
> A={(x,y) [mm]\in \IR^{2}:[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
x > y}
Tipp: A ist offen, das kannst Du leicht mit der Def. von "offen" zeigen
FRED
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Danke auch an dich :)
> Zeige doch direkt, dass A abgeschlossen ist. Z.B. so: ist
> [mm]((x_n,y_n))[/mm] eine konvergente Folge in A, so gehört auch
> ihr Limes dazu.
Okay, ich versuche das mal:
Seien [mm] (x_{n},y_{}) \in [/mm] A.
=> 0 [mm] \le x_{n} \le [/mm] 1 => (da [0,1] abgeschlossen) 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
Analog für [mm] y_{n}
[/mm]
Nun gilt natürlich auch noch:
[mm] y_{n} \le x_{n}^{2} [/mm] => (da Ungleichungen auch bei Limesbildung erhalten bleiben) y [mm] \le x^{2}
[/mm]
Damit ist auch (x,y) [mm] \in [/mm] A.
[Scheint mir zu einfach zu sein, was habe ich übersehen?]
> Setze [mm]B=\{(x,y) \in [0,1]^{2}: x,y \in \IQ \}[/mm]
>
> Dann sind A und B disjunkt und A [mm]\cup[/mm] B = [mm][0,1]^{2}[/mm]
>
> Was ist [mm]\lambda^2(B)[/mm] ?
Stimmt! Das ist natürlich direkter, denn:
[mm] \lambda^2(B)=0 [/mm] und [mm] \lambda^2(A)+\lambda^2(B)=\lambda([0,1]^2) [/mm] (da es ein Maß ist).
=> [mm] \lambda^2(A)=1
[/mm]
Ist das richtig?
> Moment, moment: Es gilt ja NICHT A = [mm] \IR\setminus\IQ [/mm]
> , hier fehlen also auch noch einige Begründungen.
> Du hast gezeigt, dass [mm] \IR\setminus\IQ [/mm] borelsch ist,
> aber nun?
Hier weiß ich leider immernoch nicht weiter :(
> > Die korrekte Aufgabenstellung wäre:
> >
> > [mm] A={(x,y)\in \IR^{2}: x > y}
[/mm]
>
> Tipp: A ist offen, das kannst Du leicht mit der Def. von
> "offen" zeigen
Ich hatte das ja versucht über die Offenheit in beiden Komponenten zu zeigen, aber da habe ich ja das gleiche Problem wie bei meiner ersten Lösung zu a): Ich zeige das nur, dass das für festes x gilt. Das gleiche Probleme würde ich erhalten, wenn ich das über Urbilder offener Mengen unter stetige Abbildungen sind offen zeige. Da ja x [mm] \in \IR [/mm] und nicht in [mm] \IQ [/mm] ist, kann ich auch nicht einfach über die x die Vereinigung bilden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 15.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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