Borelsche sigma-Algebra und R < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige: Es gibt kein Wahrscheinlichkeitsmaß [mm] \IP [/mm] auf [mm] (\IR, {\cal B}^1) [/mm] so, dass [mm] \IP(\{x\}) [/mm] > 0 fuer alle [mm] x\in\IR [/mm] gilt (dabei ist [mm] {\cal B}^1 [/mm] die Borelsche [mm] \sigma-Algebra [/mm] mit Dimension 1) |
Hallo liebes Forum,
ich verzweifle gerade an der o.g. Aufgabe. Mein erster Gedanke dabei ist, einen Beweis zu o.g. Aussage per Widerspruch zu fuehren. Ich nehme also an, dass es ein Wahrscheinlichkeitsmaß [mm] \IP [/mm] mit den genannten Eigenschaften gibt.
Dann nehme ich mir ein [mm] x'\in\IR [/mm] heraus. Wenn es gelänge, zu zeigen, dass die restlichen Elemente aus [mm] \IR, [/mm] nennen wir [mm] \IR\setminus\{x'\} [/mm] mal [mm] \IR', [/mm] bereits sowas wie
[mm] \IP(\IR') [/mm] = 1
gemäß Wahrscheinlichkeitsmaß erfuellen, hätte ich die Ungleichung
[mm] \IP(\IR') [/mm] + [mm] \IP(\{x\}) [/mm] > 1
und waere am Ziel, da ja [mm] \IP(\IR) [/mm] = 1 gelten müsste ... - Problem: Ich bekomme den "wesentlichen" Teil absolut nicht hin.
Hat jemand einen hilfreichen Tipp für mich oder sonstwie eine Idee, wie man das zeigen kann?
Ein großes Danke schonmal im Voraus 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Di 11.05.2010 | | Autor: | pelzig |
> [...] [mm]\IP(\IR')[/mm] = 1
Das kann doch gar nicht sein, denn [mm] $\IP(\IR')=\IP(\IR)-\IP(\{x'\})<\IP(\IR)=1$.
[/mm]
> Hat jemand einen hilfreichen Tipp für mich oder sonstwie
> eine Idee, wie man das zeigen kann?
Ja allerdings, betrachte doch mal zu [mm] $n\in\IN$ [/mm] die Menge [mm] $M_n:=\{x\in\IR\mid\IP(\{x\})>1/n\}$. [/mm] Was kannst du über die Mächtigkeit sagen? Was ist [mm] $\bigcup_{n\in\IN} M_n$?
[/mm]
Gruß, Robert
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Hallo Robert,
erstmal danke für die Hilfe!
Hmm.. also je größer das [mm] n\in\IN [/mm] gewählt wird, desto mehr Elemente sind in [mm] M_n, [/mm] da [mm] \frac{1}{n} [/mm] kleiner wird und sich entsprechend mehr [mm] x\in\IR [/mm] in [mm] M_n [/mm] hinzugesellen.
Das heisst, die Menge [mm] $\bigcup_{n\in\IN} M_n$ [/mm] enthält alle [mm] x\in\IR [/mm] ...?!
Momentan fehlt mir aber irgendwie noch der "Klick", ich habe noch nicht verstanden, wie ich mit [mm] $\bigcup_{n\in\IN} M_n$ [/mm] den Beweis führen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Di 11.05.2010 | | Autor: | pelzig |
> Hmm.. also je größer das [mm]n\in\IN[/mm] gewählt wird, desto
> mehr Elemente sind in [mm]M_n,[/mm] da [mm]\frac{1}{n}[/mm] kleiner wird und
> sich entsprechend mehr [mm]x\in\IR[/mm] in [mm]M_n[/mm] hinzugesellen.
Richtig, aber irrelevant.
> Das heisst, die Menge [mm]\bigcup_{n\in\IN} M_n[/mm] enthält alle [mm]x\in\IR[/mm] ...?!
Richtig! Beweis?!
> Momentan fehlt mir aber irgendwie noch der "Klick", ich
> habe noch nicht verstanden, wie ich mit [mm]\bigcup_{n\in\IN} M_n[/mm]
> den Beweis führen kann?
Du willst den Widerspruch "[mm]\IR[/mm] höchstens abzählbar" erzeugen.
Gruß, Robert
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Hmm... also zeigen will ich doch sowas wie:
Für jedes Wahrscheinlichkeitsmaß [mm] $\IP$ [/mm] auf [mm] $(\IR, {\cal B}^1)$ [/mm] existieren höchstens abzählbar viele [mm] $x\in\IR$ [/mm] mit [mm] $\IP(x) [/mm] > 0$.
Dazu betrachte ich für beliebiges [mm] $n\in\IN$ [/mm] jetzt die Menge
[mm] \bq
[/mm]
[mm] $M_n [/mm] := [mm] \{ x\in\IR \mid \IP(x) > \frac{1}{n} \}$.
[/mm]
[mm] \eq
[/mm]
Dann zeige ich:
[mm] \bq
[/mm]
[mm] $\bigcup\limits_{ n\in\IN } M_n [/mm] = [mm] \{ x\in\IR \mid \IP(x) > 0 \}$.
[/mm]
[mm] \eq
[/mm]
Falls [mm] \{ x\in\IR \mid \IP(x) > 0 \} [/mm] überabzählbar ist, ist auch [mm] $\bigcup_{ n\in\IN } M_n$ [/mm] überabzählbar.
Dann ex. auch eine Menge [mm] $M_{n'}$ [/mm] für ein [mm] $n'\in\IN$, [/mm] die überabzählbar ist.
Und was fange ich mit dem [mm] $M_{n'}$ [/mm] an? Verstehe ich nicht. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:49 Mi 12.05.2010 | | Autor: | pelzig |
> Hmm... also zeigen will ich doch sowas wie:
>
> Für jedes Wahrscheinlichkeitsmaß [mm]\IP[/mm] auf [mm](\IR, {\cal B}^1)[/mm]
> existieren höchstens abzählbar viele [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]\IP(x) > 0[/mm].
Naja bleiben wir mal bei der ursprünglichen Aufgabenstellung. Wir wollen zeigen dass [mm] $\IP(\{x\})>0$ [/mm] nicht sein kann für alle [mm] $x\in\IR$.
[/mm]
> Dazu betrachte ich für beliebiges [mm]n\in\IN[/mm] jetzt die Menge [mm]M_n := \{ x\in\IR \mid \IP(x) > \frac{1}{n} \}[/mm].
> Dann zeige ich: [mm]\bigcup\limits_{ n\in\IN } M_n = \{ x\in\IR \mid \IP(x) > 0 \}[/mm].
Genau, wobei die rechte Seite ja in unserem Falle ganz [mm] $\IR$ [/mm] ist.
> [mm]\eq[/mm]
> Falls [mm]\{ x\in\IR \mid \IP(x) > 0 \}[/mm] überabzählbar ist,
> ist auch [mm]\bigcup_{ n\in\IN } M_n[/mm] überabzählbar.
Ja kann man so machen. [mm] $\IR$ [/mm] ist ja überabzählbar!
>
> Dann ex. auch eine Menge [mm]M_{n'}[/mm] für ein [mm]n'\in\IN[/mm], die
> überabzählbar ist.
Richtig. Warum ist das so?
> Und was fange ich mit dem [mm]M_{n'}[/mm] an? Verstehe ich nicht. :(
Naja [mm] $M_{n'}$ [/mm] hat jetzt auf jeden Fall abzählbar viele Elemente, deren einelementigen Mengen alle ein Maß größer als $1/n'$ haben... kann denn das sein?! Der ganze Raum hat ja schon nur ein Maß von 1...
Gruß, Robert
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