www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Borelscher Messraum
Borelscher Messraum < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Borelscher Messraum: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:44 So 25.10.2009
Autor: SusanneK

Aufgabe
Sei [mm] (\IR,\mathcal{B}) [/mm] der Borelsche Messraum und [mm] \mu_1,\mu_2 [/mm] zwei sigma-endliche Maße auf [mm] (\IR,\mathcal{B}) [/mm] mit
[mm] \mu_1([a,b))=\mu_2([a,b)) [/mm] mit [mm] (a,b \in \IR, a Zeigen Sie:
[mm] \mu_1(B)=\mu_2(B), (B \in \mathcal{B}) [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Hallo,
ich verstehe leider so einiges noch nicht bei diesem Thema:
Wenn [mm] \mu_1, \mu_2 [/mm] zwei sigma-endliche Maße auf [mm] (\IR,\mathcal{B}) [/mm] sind, dann muss doch in [mm] \IR [/mm] eine Folge [mm] A_n [/mm] existieren, die in diesem Fall isoton gegen [mm] \IR [/mm] läuft, und das Maß davon ist < [mm] \infty. [/mm]
Oder ist der Ausgangsraum [mm] \mathcal{B} [/mm]  ?
Und ist nicht jedes offene Intervall ein Element aus [mm] \mathcal{B} [/mm] und damit ist [mm] \mu_1([a,b))=\mu_1(B) [/mm] ?

Aber das kann ja wohl nicht sein, sonst wäre die Aufgabe nicht so ?

Danke, Susanne.

        
Bezug
Borelscher Messraum: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Di 27.10.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Borelscher Messraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:21 Di 27.10.2009
Autor: steffenhst

Hallo,
Ich hoffe, dass dir folgende Überlegung noch hilft. Ausgangspunkt deines Beweises sollte sein, dass [mm] \mü_1 [/mm] mit [mm] \mü_2 [/mm] für alle rechts-halb-offenen Intervalle übereinstimmt. Du sollst das Ganze nun nachweisen, für den Borelschen Messraum, d.h. [mm] \IR [/mm] und die Borelschen Mengen. Was unterscheidet denn die Borelschen Mengen von den halb-offenen Intervallen?
Wenn du das hast, dann weißt du auch, wie du die Sigma-Endlichkeit verwenden kannst? Vielleicht noch ein Tip: Fortsetzungssätze!
Grüße, Steffen

Bezug
                
Bezug
Borelscher Messraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:46 Di 27.10.2009
Autor: SusanneK

Hallo Steffen,
vielen Dank für deine Hilfe !

Vielleicht sehe ich dadurch jetzt ein wenig klarer, aber der grosse Durchblick fehlt noch:
Die rechts offenen Intervalle sind ein Halbring, also ist [mm] \mu_1,\mu_2 [/mm] auf einem Halbring definiert.
Da der Borelsche Messraum eine Sigma-Algebra ist, benötige ich die 2-malige Fortsetzung vom Halbring, das bedeutet laut meinem Skript:
zuerst [mm] v(A)=\summe_{i=1}^{n}\mu(A_i) [/mm]
und dann [mm] v(A)=inf\{\summe_{n=1}^{\infty}\mu(A_n) | A \subset \summe_{n=1}^{\infty} A_n\}[/mm], [mm] (A_n) [/mm] Mengenfolge aus [mm] \IR. [/mm]

Puh,
wenn ich also ein rechts-offenes Intervall A in disjunkte Intervalle einteile, z.B. [mm] ([1,2),[2,3).. [/mm], dann ist die Summe der Maße [mm] \mu_1 [/mm] über diese Teil-Intervalle = Summe der Maße [mm] \mu_2 [/mm] über die gleichen Intervalle und damit die Summe [mm] v_1 [/mm] (A) gleich der Summe [mm] v_2 [/mm] (A).
Wenn jetzt B ein Element eines Borelschen Messraumes (Sigma-Algebra mit rechts-offenen Intervallen) ist, ist dann B ein rechts-offenes Intervall, das ich in eine Folge von Intervallen einteilen muss ?
Ich verstehe das Infimum in dieser Formel nicht, das kleinste Intervall geht doch dann gegen 0 - wahrscheinlich verstehe ich den Fortsetzungssatz nicht richtig ?

Danke, Susanne.

Bezug
                        
Bezug
Borelscher Messraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:24 Mi 28.10.2009
Autor: steffenhst

Hallo,


>  Die rechts offenen Intervalle sind ein Halbring, also ist
> [mm]\mu_1,\mu_2[/mm] auf einem Halbring definiert.
>  Da der Borelsche Messraum eine Sigma-Algebra ist,
> benötige ich die 2-malige Fortsetzung vom Halbring

auf die Borelsche Sigma-Algebra. Korrekt! Wichtiger ist aber auch noch, dass diese Fortsetzung eindeutig ist (das wird für den zweiten FS wichtig werden).

Betrachten wir zunächst den Ring, der durch die ho-Intervalle erzeugt wird. Dieser erzeugte Ring besteht aus allen endlichen Summen paarweis fremder ho-Intervalle und natürlich den ho-Intervallen selbst. Mit dem ersten Fortsetzungsatz gibt es nun eindeutige Fortsetzungen von [mm] \mu_1 [/mm] und [mm] \mu_2 [/mm] auf diesen Ring. Seien [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] diese Fortsetzungen. Gilt dann [mm] v_1 [/mm] (A) = [mm] v_2 [/mm] (A) für ein beliebiges ho-Intervall A? Warum? [Beachte was du zeigen sollst!]

Jetzt betrachten wir die Borelsche Sigma-Algebra. Diese wird durch die ho-Intervalle erzeugt und natürlich auch durch den von den ho-Intervallen erzeugten Ring. Mit dem zweiten Fortsetzungssatz gibt es jetzt eine eindeutige Fortsetzung von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] auf die Borelsche Sigma-Algebra. Warum? Und warum stimmen nun die beiden Fortsetzungen für ein ho-Intervall überein? (Beachte: Es geht immer nur um die ho-Intervalle, deshalb brauchst du die Formel mit dem Infimum nicht!)

Vielleicht nochmal zu der Formel mit dem Infimum: Man betrachtet hier für eine Menge A beliebige, disjunkte Mengenfolgen [mm] A_n, [/mm] die A enthalten. Für jeder dieser Mengenfolgen kann ich [mm] \summe_{i=1}^{\infty} A_n [/mm] bestimmen und das Maß von A ist dann "einfach" das Infimum all dieser Werte. Aber wie gesagt, für den Beweis brauchst du das nicht.

Grüße, Steffen




Bezug
                                
Bezug
Borelscher Messraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:17 Mi 28.10.2009
Autor: SusanneK

Hallo Steffen,
wow,
vielen vielen Dank für die ausführliche Erklärung !!

> Betrachten wir zunächst den Ring, der durch die
> ho-Intervalle erzeugt wird. Dieser erzeugte Ring besteht
> aus allen endlichen Summen paarweis fremder ho-Intervalle
> und natürlich den ho-Intervallen selbst. Mit dem ersten
> Fortsetzungsatz gibt es nun eindeutige Fortsetzungen von
> [mm]\mu_1[/mm] und [mm]\mu_2[/mm] auf diesen Ring. Seien [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] diese
> Fortsetzungen. Gilt dann [mm]v_1[/mm] (A) = [mm]v_2[/mm] (A) für ein
> beliebiges ho-Intervall A? Warum? [Beachte was du zeigen
> sollst!]

Hmm, das gilt, weil das der Fortsetzungssatz sagt (ich habe leider keinen Beweis dazu) - oder vielleicht, weil ein beliebiges ho-Intervall A eine Teilmenge des Ringes ist und damit ein Maß auf dem Ring auch für A gilt.
  

> Jetzt betrachten wir die Borelsche Sigma-Algebra. Diese
> wird durch die ho-Intervalle erzeugt und natürlich auch
> durch den von den ho-Intervallen erzeugten Ring. Mit dem
> zweiten Fortsetzungssatz gibt es jetzt eine eindeutige
> Fortsetzung von [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] auf die Borelsche
> Sigma-Algebra. Warum? Und warum stimmen nun die beiden
> Fortsetzungen für ein ho-Intervall überein? (Beachte: Es
> geht immer nur um die ho-Intervalle, deshalb brauchst du
> die Formel mit dem Infimum nicht!)

Es gibt eine eindeutige Fortsetzung, weil [mm] \mu_1 [/mm] und [mm] \mu_2 [/mm] sigma-endlich sind.
Ja, und dann stehe ich auf dem Schlauch  - die stimmen doch überein, weil [mm] \mu_1 [/mm] (beliebiges ho Intervall) = [mm] \mu_2 [/mm] (gleiches Intervall) über die Fortsetzungssätze "gleich fortgesetzt werden" - oder ?

> Vielleicht nochmal zu der Formel mit dem Infimum: Man
> betrachtet hier für eine Menge A beliebige, disjunkte
> Mengenfolgen [mm]A_n,[/mm] die A enthalten. Für jeder dieser
> Mengenfolgen kann ich [mm]\summe_{i=1}^{\infty} A_n[/mm] bestimmen
> und das Maß von A ist dann "einfach" das Infimum all
> dieser Werte. Aber wie gesagt, für den Beweis brauchst du
> das nicht.

Ah, das bedeutet, das Maß ist dann sozusagen die Schnittmenge aller Folgen [mm] (A_n), [/mm] die A enthalten, und das ist dann A.


VIELEN DANK, Susanne.

Bezug
                                        
Bezug
Borelscher Messraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:44 Do 29.10.2009
Autor: steffenhst

Hallo Susanne,

  

> > Betrachten wir zunächst den Ring, der durch die
> > ho-Intervalle erzeugt wird. Dieser erzeugte Ring besteht
> > aus allen endlichen Summen paarweis fremder ho-Intervalle
> > und natürlich den ho-Intervallen selbst. Mit dem ersten
> > Fortsetzungsatz gibt es nun eindeutige Fortsetzungen von
> > [mm]\mu_1[/mm] und [mm]\mu_2[/mm] auf diesen Ring. Seien [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] diese
> > Fortsetzungen. Gilt dann [mm]v_1[/mm] (A) = [mm]v_2[/mm] (A) für ein
> > beliebiges ho-Intervall A? Warum? [Beachte was du zeigen
> > sollst!]
>  Hmm, das gilt, weil das der Fortsetzungssatz sagt (ich
> habe leider keinen Beweis dazu) - oder vielleicht, weil ein
> beliebiges ho-Intervall A eine Teilmenge des Ringes ist und
> damit ein Maß auf dem Ring auch für A gilt.

Ja, genau, der 1. Fortsetzungssatz sagt, dass die Fortsetzung der Maße eindeutig ist (ohne! irgendwelche weiteren Vorraussetzungen an die Maße selbst zu stellen). Und die Maße stimmen jetzt für beliebige ho-Intervalle überein, weil Sie das vorher ja schon gemacht haben und die ho-Intervalle selbst ja wieder im Ring liegen, denn sie erzeugen den Ring. [Im Beweis geht es praktisch darum, dass du Erzeugung und Fortsetzung zusammenbringst].
    

> > Jetzt betrachten wir die Borelsche Sigma-Algebra. Diese
> > wird durch die ho-Intervalle erzeugt und natürlich auch
> > durch den von den ho-Intervallen erzeugten Ring. Mit dem
> > zweiten Fortsetzungssatz gibt es jetzt eine eindeutige
> > Fortsetzung von [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] auf die Borelsche
> > Sigma-Algebra. Warum? Und warum stimmen nun die beiden
> > Fortsetzungen für ein ho-Intervall überein? (Beachte: Es
> > geht immer nur um die ho-Intervalle, deshalb brauchst du
> > die Formel mit dem Infimum nicht!)
>  Es gibt eine eindeutige Fortsetzung, weil [mm]\mu_1[/mm] und [mm]\mu_2[/mm]
> sigma-endlich sind.

Exakt, d.h. auch für die Borelsche Sigma-Algebra gilt, dass die fortgesetzten Maße eindeutig sind. Bleibt also die Frage, ob die beiden so fortgesetzten Maße für beliebige ho-Intervalle übereinstimmen. Na klar, weil sie es ja schon am Anfang gemacht haben und die ho-Intervalle sind ja auch Elemente der Borelschen Sigma-Algebra, denn sie erzeugen Sie den Ring und der Ring erzeugt die Sigma-A., d.h. der Ring ist wieder Element der S.-A und damit auch die ho-Intervalle. (allgemein gilt aber auch, dass die ho-Intervalle die B-S.A. erzeugen). OK?

>  Ja, und dann stehe ich auf dem Schlauch  - die stimmen
> doch überein, weil [mm]\mu_1[/mm] (beliebiges ho Intervall) = [mm]\mu_2[/mm]
> (gleiches Intervall) über die Fortsetzungssätze "gleich
> fortgesetzt werden" - oder ?
>
> > Vielleicht nochmal zu der Formel mit dem Infimum: Man
> > betrachtet hier für eine Menge A beliebige, disjunkte
> > Mengenfolgen [mm]A_n,[/mm] die A enthalten. Für jeder dieser
> > Mengenfolgen kann ich [mm]\summe_{i=1}^{\infty} A_n[/mm] bestimmen
> > und das Maß von A ist dann "einfach" das Infimum all
> > dieser Werte. Aber wie gesagt, für den Beweis brauchst du
> > das nicht.
>  Ah, das bedeutet, das Maß ist dann sozusagen die
> Schnittmenge aller Folgen [mm](A_n),[/mm] die A enthalten, und das
> ist dann A.

Nee, sorry, hatte mich verschrieben. Richtig heißt es:

Man betrachtet hier für eine Menge A beliebige, disjunkte
Mengenfolgen [mm]A_n,[/mm] die A enthalten. Für jeder dieser
Mengenfolgen kann ich [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \mu (A_n) [/mm] bestimmen und das Maß von A ist dann "einfach" das Infimum all
dieser Werte.  

Grüße, Steffen


Bezug
                                                
Bezug
Borelscher Messraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:22 Do 29.10.2009
Autor: SusanneK

Hallo Steffen,
vielen, vielen Dank für deine tolle Hilfe.
Deine ausführlichen Erklärungen haben mit sehr geholfen, das Thema und die Idee des Beweises zu verstehen.

LG, Susanne.

Bezug
                                                
Bezug
Borelscher Messraum: Sigmaendlichkeit auf Ring
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:29 Sa 31.10.2009
Autor: iks

Aufgabe
Sei [mm] (\IR,\mathcal{B}) [/mm] der Borelsche Messraum und [mm] \mu_1,\mu_2 [/mm] zwei sigma-endliche Maße auf [mm] (\IR,\mathcal{B}) [/mm] mit
[mm] \mu_1([a,b))=\mu_2([a,b)) [/mm] mit [mm] (a,b \in \IR, a Zeigen Sie:
[mm] \mu_1(B)=\mu_2(B), (B \in \mathcal{B}) [/mm]

Hallo!

Da ich die gleiche Aufgabe zu lösen habe, klink ich mich mal in diesen Fremdthread.

> > > Betrachten wir zunächst den Ring, der durch die
> > > ho-Intervalle erzeugt wird. Dieser erzeugte Ring besteht
> > > aus allen endlichen Summen paarweis fremder ho-Intervalle
> > > und natürlich den ho-Intervallen selbst. Mit dem ersten
> > > Fortsetzungsatz gibt es nun eindeutige Fortsetzungen von
> > > [mm]\mu_1[/mm] und [mm]\mu_2[/mm] auf diesen Ring. Seien [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] diese
> > > Fortsetzungen. Gilt dann [mm]v_1[/mm] (A) = [mm]v_2[/mm] (A) für ein
> > > beliebiges ho-Intervall A? Warum? [Beachte was du zeigen
> > > sollst!]
>  >  Hmm, das gilt, weil das der Fortsetzungssatz sagt (ich
> > habe leider keinen Beweis dazu) - oder vielleicht, weil ein
> > beliebiges ho-Intervall A eine Teilmenge des Ringes ist und
> > damit ein Maß auf dem Ring auch für A gilt.
>  
> Ja, genau, der 1. Fortsetzungssatz sagt, dass die
> Fortsetzung der Maße eindeutig ist (ohne! irgendwelche
> weiteren Vorraussetzungen an die Maße selbst zu stellen).
> Und die Maße stimmen jetzt für beliebige ho-Intervalle
> überein, weil Sie das vorher ja schon gemacht haben und
> die ho-Intervalle selbst ja wieder im Ring liegen, denn sie
> erzeugen den Ring. [Im Beweis geht es praktisch darum, dass
> du Erzeugung und Fortsetzung zusammenbringst].
>      
> > > Jetzt betrachten wir die Borelsche Sigma-Algebra. Diese
> > > wird durch die ho-Intervalle erzeugt und natürlich auch
> > > durch den von den ho-Intervallen erzeugten Ring. Mit dem
> > > zweiten Fortsetzungssatz gibt es jetzt eine eindeutige
> > > Fortsetzung von [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] auf die Borelsche
> > > Sigma-Algebra. Warum? Und warum stimmen nun die beiden
> > > Fortsetzungen für ein ho-Intervall überein? (Beachte: Es
> > > geht immer nur um die ho-Intervalle, deshalb brauchst du
> > > die Formel mit dem Infimum nicht!)
>  >  Es gibt eine eindeutige Fortsetzung, weil [mm]\mu_1[/mm] und
> [mm]\mu_2[/mm]
> > sigma-endlich sind.
>  
> Exakt, d.h. auch für die Borelsche Sigma-Algebra gilt,
> dass die fortgesetzten Maße eindeutig sind.

Also hier hänge ich. Da nur gegeben ist, dass die Maße [mm] $\mu_1,\mu_2$ [/mm] auf der Borelsigmaalgebra [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] sigmaendlich sind.Daraus folgt doch aber nicht die Sigmaendlichkeit von der Maße im Ring [mm] $\rho(\mathcal{I})$? [/mm] und die wird doch aber im zweiten Fortsetzungssatz für die Eindeutigkeit der Fortsetzung gefordert.

Ich dachte zunächst, das man zeigen kann, das zu beliebigem sigmaendlichem Maß [mm] $\mu$ [/mm] auf [mm] $\mathcal{B}$ $\mu([a,b))<\infty$ [/mm] ist. Leider wurde diese Idee niedergeschlagen mithilfe des [mm] $\IQ$ [/mm] Zählmaßes auf [mm] $\mathcal{B}$. [/mm]
Wie kann ich also die Sigmaendlichkeit von [mm] $\mu_1,\mu_2$ [/mm] auf [mm] $\rho(\mathcal{I})$ [/mm] zeigen??
Hat jemand einen Rat für mich?

[mm] $\mathcal{I}$ [/mm] := Halbring der halboffenen Intervalle $[a,b)$

Dank im Voraus iks

Bezug
                                                        
Bezug
Borelscher Messraum: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:10 So 01.11.2009
Autor: iks

Aufgabe
Sei [mm] $(\IR,\mathcal{B})$ [/mm] der Borelsche Messraum und [mm] $\mu_1,\mu_2$ [/mm] zwei [mm] $\sigma$-endliche [/mm] Maße auf [mm] $(\IR,\mathcal{B})$ [/mm] mit

[mm] $\mu_1([a,b))=\mu_2([a,b))$ [/mm]

Zeigen Sie bitte [mm] $\mu_1(B)=\mu_2(B)$ $(B\in\mathcal{B})$ [/mm]

Hallo!

Die oben erwähnte Kopfnuß mit dem [mm] $\IQ$-Zählmaß, [/mm] läßt mich zum Schluss kommen, das die Forderung "Zeigen sie [mm] $\mu_1(B)=\mu_2(B)$..." [/mm] ohne weitere Angaben zu den Maßen nicht haltbar ist.
Könntet ihr bitte mal das Gegenbeispiel korrekturlesen??

Definition $T$-Zählmaß (aus Script):

Sei [mm] $(\Omega,\mathcal{A})$ [/mm] ein Messraum und [mm] $T\subset\Omega$. [/mm] Dann heißt das durch

[mm] $\mu(A):=\begin{cases} |A\cap T|, & \mbox{für } A\cap T \mbox{ endlich} \\ \infty, & \mbox{sonst }\end{cases}$ [/mm]  

definierte Maß [mm] $\mu$ [/mm] auf [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] das $T$-Zählmaß auf [mm] $\mathcal{A}$. [/mm]

Sei nun [mm] $T_1:=\IQ$ [/mm] und [mm] $T_2:=A^{\IR}$ [/mm] (die Menge der algebraischen Zahlen in [mm] $\IR$). [/mm]
Dann sind durch

[mm] $\mu_1(B):=\begin{cases} |B\cap \IQ|, & \mbox{für } B\cap\IQ \mbox{ endlich} \\ \infty, & \mbox{sonst }\end{cases}$ $(B\in\mathcal{B})$ [/mm]

und

[mm] $\mu_2(B):=\begin{cases} |B\capA^{\IR}|, & \mbox{für } B\cap A^{\IR} \mbox{ endlich} \\ \infty, & \mbox{sonst }\end{cases}$ $(B\in\mathcal{B})$ [/mm]

zwei Zählmaße auf [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] definiert.

zeige nun, dass [mm] $\mu_1,\mu_2$ $\sigma$-endlich [/mm] sind:

Da [mm] $\IQ,A^{\IR}$ [/mm] abzählbar sind, gibt es Bijektionen [mm] $f_1:\IN\to\IQ$, $f_2:\IN\to A^{\IR}$. [/mm]

Sei [mm] $(A_n)$ [/mm] eine Folge in [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] mit [mm] $A_0:=\IR\backslash\IQ$ $A_1:=A_0\cup \{f(1)\}$, $A_2:=A_1\cup \{f(2)\}$ [/mm] etc.

Dann konvergiert [mm] $(A_n)$ [/mm] isoton gegen [mm] $\IR$ [/mm] und für [mm] $(n\in\IN)$ [/mm] ist [mm] $\mu_1(A_n)<\infty$ [/mm] also [mm] $\mu_1$ $\sigma$-endlich [/mm] auf [mm] $\mathcal{B}$. [/mm]
Analog folgt die [mm] $\sigma$-endlichkeit [/mm] von [mm] $\mu_2$. [/mm]

Da [mm] $\IQ,A^{\IR}$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegen, gilt:

[mm] |[a,b)\cap\IQ|=|[a,b)\cap A^{\IR}|=\infty [/mm] für beliebiges [mm] $[a,b)\subset\IR$ [/mm]

also [mm] $\mu_1([a,b))=\mu_2([a,b))$ [/mm]

aber  [mm] $\mu_1(\{\sqrt{2}\})=0\neq1=\mu_2(\{\sqrt{2}\})$ [/mm]

Damit ist ein Gegenbeispiel konstruiert. Dank an Klaus für die Kopfnuß.

mFg iks



Bezug
                                                                
Bezug
Borelscher Messraum: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:20 Di 03.11.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                                        
Bezug
Borelscher Messraum: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:20 Di 03.11.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]