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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Brauche hilfe bei einer Aufgab
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Brauche hilfe bei einer Aufgab: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:05 Di 08.01.2008
Autor: winbug

Aufgabe
[mm] Z^4+16=0 [/mm]
Ermitteln sie alle Lösungen der Gleichung und
skizzieren sie diese in der gaußschen Zahlenebene.

Hallo.

Ich soll hier eine Aufagabe lösen, weiß aber nicht wo ich da nun was/wie rechnen muss.

Ich weiß, das es irgendwas mit sin und cos zutun hat,
meine Beispielaufgaben enthalten aber alle noch ein i für die komplexe Zahl.

Hier ist das aber nicht so und ich weiß nun gar nicht so richtig was man nun da rechnen soll.

ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Brauche hilfe bei einer Aufgab: Moivre-Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 Di 08.01.2008
Autor: Loddar

Hallo winbug,

[willkommenmr] !


Du musst hier ja die Gleichung [mm] $z^4 [/mm] \ = \ -16 \ = \ -16+0*i$ lösen. Dafür solltest Du die []MOIVRE-Formel anwenden:

$ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right] [/mm] $ mit $k \ = \ 0 \ ... \ (n-1)$

Dabei gilt:  $r \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2}$ [/mm]  sowie  [mm] $\tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y}{x}$ [/mm]


In Deinem Falle gilt:  $x \ = \ -16$  sowie  $y \ = \ 0$ , damit [mm] $\varphi [/mm] \ = \ 180° \ [mm] \hat= [/mm] \ [mm] \pi$ [/mm] sowie $n \ = \ 4$ .


Gruß
Loddar


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