Bruch mit Wurzel im Nenner < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie das Integral:
[mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{x^3}{\wurzel{1+x^2}} dx}[/mm] |
Hallo zusammen,
ich komme beim Lösen dieser Aufgabe leider nicht so recht weiter.
Klar ist, dass hier eine Integration durch Substitution stattfinden muss.
Die hab ich auch begonnen – und zwar so:
[mm]z := 1 + x^2[/mm]
[mm]\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x} = 2x \gdw \mathrm{d} x = \frac{\mathrm{d} z}{2x} [/mm]
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{x^3}{\wurzel{1+x^2}} dx} = \integral_{}^{}{\bruch{x^3}{\wurzel{z}} * \frac{\mathrm{d} z}{2x} }= \integral_{}^{}{\frac{x^2 * \mathrm{d} z}{\wurzel{z} * 2} } = \bruch{1}{2} \integral_{}^{}{\frac{x^2 * \mathrm{d} z}{\wurzel{z}} } = \bruch{1}{2} \integral_{}^{}{\frac{x^2}{\wurzel{z}} } \mathrm{d} z[/mm]
Jetzt integriere ich:
[mm]\bruch{1}{2} \integral_{}^{}{\frac{x^2}{\wurzel{z}} } \mathrm{d} z = \bruch{1}{2} * 2x^2 * \wurzel{z} + C = x^2 * \wurzel{z} + C[/mm]
Jetzt wird der ganze Spaß zurücksubstituiert:
[mm]x^2 * \wurzel{z} + C = x^2 * \wurzel{1+x^2} + C[/mm]
Und da das ja jetzt eine Stammfunktion darstellt, setze ich nun die die Grenzen des bestimmten Integrals ein (leider bekomme ich es nicht hin, das hier über den Formeleditor auch so darzustellen):
[mm]\left [ x^2 * \wurzel{1+x^2} \right ] = 1* \wurzel{1+1} - 0 * \wurzel{1} = \wurzel{2}[/mm]
Hiermit wäre ich dann fertig.
Allerdings ist das Ergebnis völlig falsch.
Kann mir jemand sagen, was hier falsch gelaufen ist?
Viele Grüße
Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 So 16.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Bestimmen Sie das Integral:
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> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{x^3}{\wurzel{1+x^2}} dx}[/mm]
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> Hallo zusammen,
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> ich komme beim Lösen dieser Aufgabe leider nicht so recht
> weiter.
> Klar ist, dass hier eine Integration durch Substitution
> stattfinden muss.
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> Die hab ich auch begonnen – und zwar so:
>
> [mm]z := 1 + x^2[/mm]
>
> [mm]\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x} = 2x \gdw \mathrm{d} x = \frac{\mathrm{d} z}{2x}[/mm]
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> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x^3}{\wurzel{1+x^2}} dx} = \integral_{}^{}{\bruch{x^3}{\wurzel{z}} * \frac{\mathrm{d} z}{2x} }= \integral_{}^{}{\frac{x^2 * \mathrm{d} z}{\wurzel{z} * 2} } = \bruch{1}{2} \integral_{}^{}{\frac{x^2 * \mathrm{d} z}{\wurzel{z}} } = \bruch{1}{2} \integral_{}^{}{\frac{x^2}{\wurzel{z}} } \mathrm{d} z[/mm]
>
> Jetzt integriere ich:
>
> [mm]\bruch{1}{2} \integral_{}^{}{\frac{x^2}{\wurzel{z}} } \mathrm{d} z = \bruch{1}{2} * 2x^2 * \wurzel{z} + C = x^2 * \wurzel{z} + C[/mm]
Hier ist ein gewaltiger Fehler. Das x ist keine Konstante, die aus dem Integral gezogen werden kann.
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> Jetzt wird der ganze Spaß zurücksubstituiert:
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> [mm]x^2 * \wurzel{z} + C = x^2 * \wurzel{1+x^2} + C[/mm]
>
> Und da das ja jetzt eine Stammfunktion darstellt, setze ich
> nun die die Grenzen des bestimmten Integrals ein (leider
> bekomme ich es nicht hin, das hier über den Formeleditor
> auch so darzustellen):
>
> [mm]\left [ x^2 * \wurzel{1+x^2} \right ] = 1* \wurzel{1+1} - 0 * \wurzel{1} = \wurzel{2}[/mm]
>
> Hiermit wäre ich dann fertig.
> Allerdings ist das Ergebnis völlig falsch.
>
> Kann mir jemand sagen, was hier falsch gelaufen ist?
Die Substitution klappt nur, wenn danach ein nur noch von der neuen Variable auftauchender Funktionsterm zu integrieren ist.
>
> Viele Grüße
> Patrick
>
>
Teile das Integral am besten auf, in:
[mm] \int\frac{x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}}dx=\int x^{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}dx
[/mm]
Das sollte mit partieller Integration nun gut machbar sein.
[mm] \int \underbrace{x^{3}}_{u'}\cdot\underbrace{\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}}_{v}dx=
[/mm]
Marius
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Hallo Marius,
danke für Deine Antwort.
> Die Substitution klappt nur, wenn danach ein nur noch von
> der neuen Variable auftauchender Funktionsterm zu
> integrieren ist.
Okay, das erklärt natürlich einiges.
> Teile das Integral am besten auf, in:
>
> [mm]\int\frac{x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}}dx=\int x^{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}dx[/mm]
>
> Das sollte mit partieller Integration nun gut machbar
> sein.
>
> [mm]\int \underbrace{x^{3}}_{u'}\cdot\underbrace{\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}}_{v}dx=[/mm]
Aber hier muss ich doch trotzdem substituieren, oder?
[mm]\integral_{}^{}{u'(x) * v(x) dx} = u(x) * v(x) - \integral_{}^{}{u(x) * v'(x) dx}[/mm]
[mm]\integral_{}^{}{x^3 * \bruch{1}{\wurzel{1+x^2}} dx} = \bruch{x^4}{4} * \bruch{1}{\wurzel{1+x^2}} - \integral_{}^{}{\bruch{x^4}{4} * \left ( - \bruch{x}{(1+x^2)^{3/2}} \right ) dx}[/mm]
Denn hier muss ich ja wieder einen Bruch integrieren.
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Hallo
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{x^3}{\wurzel{1+x^2}} dx}
[/mm]
1. Substitution: [mm] z:=x^2
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{z}{\wurzel{1+z}} dz}
[/mm]
2. Substitution: t:=1+z
[mm] =\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{t-1}{\wurzel{t}} dt}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\wurzel{t}-\bruch{1}{\wurzel{t}}dt}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\wurzel{t} dt}-\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{t}} dt}
[/mm]
jetzt sieht es doch richtig freundlich aus
Steffi
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Hallo Steffi,
> [mm]=\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\wurzel{t} dt}-\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{t}} dt}[/mm]
>
> jetzt sieht es doch richtig freundlich aus
danke dafür!
Ich rechne mal von hier an weiter (schreibe aber nur die größten Schritte auf):
Erst einmal integrieren und ausmultiplizieren:
[mm]= \bruch{2*t^{3/2}}{6} - \bruch{2*t^{1/2}}{2}[/mm]
Dann kürzen und t zurücksubstituieren
[mm]= \bruch{(1+z)^{3/2}}{3} - (1+z)^{1/2}[/mm]
z zurücksubstituieren, Integrationsgrenzen (1 und 0) einsetzen, Klammern aufgelösen und Nenner angleichen:
[mm]= \bruch{2\wurzel{2}}{3} - \bruch{3\wurzel{2}}{3} - \bruch{1}{3} + \bruch{3}{3}[/mm]
Nun noch 1/3 ausklammern, Ausdruck vereinfachen und fertig:
[mm]= \bruch{1}{3} \left ( 2 - \wurzel{2} \right )[/mm]
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Hallo Patrick,
na, wird doch. 
> > [mm]=\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\wurzel{t} dt}-\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{t}} dt}[/mm]
>
> >
> > jetzt sieht es doch richtig freundlich aus
>
> danke dafür!
>
> Ich rechne mal von hier an weiter (schreibe aber nur die
> größten Schritte auf):
>
> Erst einmal integrieren und ausmultiplizieren:
>
> [mm]= \bruch{2*t^{3/2}}{6} - \bruch{2*t^{1/2}}{2}[/mm]
>
> Dann kürzen und t zurücksubstituieren
>
> [mm]= \bruch{(1+z)^{3/2}}{3} - (1+z)^{1/2}[/mm]
Bis hierhin gut.
> z zurücksubstituieren, Integrationsgrenzen (1 und 0)
> einsetzen, Klammern aufgelösen und Nenner angleichen:
Das ist ein bisschen viel auf einmal, um den Aufschrieb noch zu überblicken.
Auszurechnen ist also [mm] \left[\bruch{(1+x^2)^{3/2}}{3}-(1+x^2)^{1/2}\right]_{0}^{1}
[/mm]
> [mm]= \bruch{2\wurzel{2}}{3} - \bruch{3\wurzel{2}}{3} - \bruch{1}{3} + \bruch{3}{3}[/mm]
Ok, stimmt auch.
> Nun noch 1/3 ausklammern, Ausdruck vereinfachen und
> fertig:
>
> [mm]= \bruch{1}{3} \left ( 2 - \wurzel{2} \right )[/mm]
Ja, alles richtig.
Grüße
reverend
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