Bruch nach x auflösen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Kann mir bitte jemand den Rechenweg aufzeigen?
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> x/(x+5)-2 > 0
> Kann mir bitte jemand den Rechenweg aufzeigen?
Also dies hier ist eine "Bruchungleichung". Du wirst sie durch beidseitige Multiplikation mit dem Nenner [mm]x+5[/mm] auf eine lineare Ungleichung vereinfachen müssen.
Allerdings gibt es hier drei Fälle zu unterscheiden:
1. Fall: [mm]x+5=0[/mm], d.h. [mm]x=-5[/mm]: dann ist die Ungleichung nicht definiert (Division durch 0). [mm]x=-5[/mm] kommt also von vornherein nicht als Lösung in Frage.
2. Fall: [mm]x+5>0[/mm], d.h. [mm]x>-5[/mm]: in diesem Fall darfst Du die Ungleichung beidseitig mit [mm]x+5[/mm] multiplizieren und erhältst die lineare Ungleichung [mm]x-2(x+5)> 0[/mm]. Bestimme die Lösungsmenge für diese Ungleichung (beachte dabei aber, dass zugleich [mm]x>-5[/mm] erfüllt sein muss).
3. Fall: [mm]x+5<0[/mm], d.h. [mm]x<-5[/mm]: in diesem Fall darfst Du zwar die Ungleichung ebenfalls beidseitig mit [mm]x+5[/mm] multiplizieren, musst aber die Richtung des Ungleichheitszeichens umkehren (da Multiplikation mit einer negativen Zahl eine streng monoton fallende Funktion ist) und erhältst so die lineare Ungleichung [mm]x-2(x+5) < 0[/mm]. Bestimme die Lösungsmenge für diese Ungleichung (beachte dabei, dass zugleich [mm]x<-5[/mm] erfüllt sein muss).
Zum Schluss bildest Du die Vereinigungsmenge der beiden im Fall 2. bzw. 3. gefundenen Lösungsmengen: dies ist (unter Auschluss von [mm]x=-5[/mm]) die gesuchte Lösungsmenge der gegebenen Ungleichung.
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Hi,
das Thema hatten wir in der Schule damals leider nicht; wenn man dann die Vereinigungsmenge nehmen muss, kann doch x nicht gleichzeitig größer und kleiner als -5 sein oder? Klar, $x<10$ und $x>-10$, aber die Fallunterscheidungen waren ja dieser Gegensatz.
Grüße, Stefan.
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> Hi,
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> das Thema hatten wir in der Schule damals leider nicht;
> wenn man dann die Vereinigungsmenge nehmen muss, kann doch
> x nicht gleichzeitig größer und kleiner als -5 sein oder?
Die Fallunterscheidungen (wie etwa [mm]x>-5[/mm] oder [mm]x<-5[/mm]) sind nur solange relevant, bis Du eine (Teil-)Lösungsmenge für die ursprüngliche Ungleichung gefunden hast, die der Bedingung für den speziellen Fall, den Du gerade bearbeitest, genügt. Danach hast Du nur noch eine Menge von Lösungen der ursprünglichen Ungleichung. Die Bedingung, unter der diese Menge von Lösungen gefunden wurde, kannst Du gewissermassen "wegschmeissen", sobald Du diese Menge von Lösungen der ursprünglichen Ungleichung gefunden hast.
Wenn Du am Ende die Vereinigung aller Mengen von Lösungen bildest, die Du in den diversen Fallunterscheidungszweigen gefunden hast, vereinigst Du nur noch irgendwelche Mengen von Lösungen der ursprüngliche Ungleichung. Deshalb spielen die Bedingungen, die Du beim Auffinden der einzelnen Mengen hast einführen müssen, bei dieser Vereinigungsmengenbildung keine Rolle mehr.
Wichtig ist natürlich, dass alle die Mengen, die Du am Ende vereinigst, tatsächlich Lösungen der ursprünglichen Ungleichung sind und dass kein Fall vergessen wurde: dass Du also alle möglichen Lösungen der gegebenen Ungleichung auch in wenigstens einer der Mengen drin hast, die Du am Ende vereinigst.
> Klar, [mm]x<10[/mm] und [mm]x>-10[/mm], aber die Fallunterscheidungen waren
> ja dieser Gegensatz.
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> Grüße, Stefan.
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