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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Bruchgleichung
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Bruchgleichung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:39 Fr 04.05.2007
Autor: baerbelchen

Aufgabe
[mm] \bruch{2x}{x-3}<0 [/mm]

meine Rechnung
[mm] \bruch{2x}{x-3}<0 [/mm]  |.(x-3)
2x<0

folgende Lösung verstehe ich nicht
1. Fall:
[mm] x-3>0\gdw>3 [/mm]
2x<0
x<0    L1=nicht 0 (heißt das nicht lösbar, weil man nicht duch 2 teilen darf?
es gibt auch den umgekehrten 2. Fall
[mm] x-3<0\gdwx<3 [/mm]
2x>0
x>0   L2=0;3
Warum gibt es einen 2. Fall?

        
Bezug
Bruchgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:45 Fr 04.05.2007
Autor: MicMuc

Die Umformung "mal (x-3)" ist eine "gefährliche Umformung:

1) Für x= 3 ist sie keine erlaubte Umformung (macht hier nichts, da der Ausdruck links für x= 3 auch nicht definiert ist.

2) Für x>3 ist sie eine Äquivalenzumformung einer Ungleichung, die die Monotonie erhält, d.h. das Kleinerzeichen bleibt bestehen

3) Für x<3 ist sie eine Äquivalenzumformung einer Ungleichung, die die Monotonie "umdreht", d.h. das Kleinerzeichen wird zu einem Größerzeichen.


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Bezug
Bruchgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:50 Fr 04.05.2007
Autor: MicMuc

Zusatz:

Man unterschiedet nun zuerst einmal die beiden x>3 bzw. x<3, weil man ja auch verschiedene Ungleichungen erhält.

Die allgemeinen Lösungen der neu entstandenen Ungleichungen müssen dann noch mit den "Vorbedingung" (x>3 bzw. x<3) abgeglichen werden.

Dies kann zu "weiteren" Fallunterscheidungen führen ...

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Bruchgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:57 Fr 04.05.2007
Autor: baerbelchen

Ich hatte die Aufgabe als eine Ungleichung gesehen, weil das > oder < Zeichen enthalten ist. Ist das richtig?

Ich habe dich so verstanden, das die Umformung "mal (x-3)" ist eine "gefährliche Umformung ist. Gilt für eine Ungleichung. Richtig?

Für x= 3 ist sie keine erlaubte Umformung (macht hier nichts, da der Ausdruck links für x= 3 auch nicht definiert ist. Das verstehe ich nicht. sorry



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Bruchgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:06 Fr 04.05.2007
Autor: Steffi21

Hallo,

du weißt, wird eine Unleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert, so kehrt sich das Relationszeichen um, Beispiel:

-4x>36 |:(-4)
x<-9

Wenn du deine Unghleichung löst, ist dein x noch nicht bekannt, darum zwei Fälle:

1. Fall: (x-3)>0, multiplizierst du jetzt mit (x-3), bleibt das Relationszeichen erhalten,
2. Fall: (x-3)<0, multiplizierts du jetzt mit (x-3), kehrt sich das Relationszeichen um, da der Ausdruck ja negativ ist,

Steffi


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Bruchgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:09 Fr 04.05.2007
Autor: MicMuc

Setzt man x=3 in $ [mm] \bruch{2x}{x-3}$ [/mm] ein, so ergibt sich:

6 / 0 , diese Division ist nicht definiert bzw. nicht erlaubt.

Interpretation für die Unlgeichung:

Für x=3 ist die Ungleichung nicht definiert bzw. "nicht erlaubt".

Für x=3 wäre die Multiplikation mit (x-3) nichts anderes, als die Multiplikation mit Null.

So eine Umformung (bei Un- bzw. Gelichungen) ist unsinnig bzw. KEINE ÄQUIVALENZUMFORMUNG.

3=y [mm] |$\cdot [/mm] 0$ ergibt: $0=0$

Die beiden Gleicungen 3=y und 0=0 haben nichts miteinander zu tun ...

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Bruchgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:22 Fr 04.05.2007
Autor: baerbelchen

Ich danke euch allen.

Ich habe viel gelernt.
Gruß
Babs


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Bruchgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:13 Fr 04.05.2007
Autor: rabilein1

Wenn man mit einer positiven Zahl (x>3) multipliziert, bleibt das Ungleichzeihen erhalten. Bei Multiplikation mit einer negativen Zahl (x<3)dreht es sich um.

Man muss also diese beiden Fälle unterscheiden.

Im ersten Fall kame raus:  x>3 (Bedingung) und x<0 (Lösung der Ungleichung) => das beißt sich

Im zweiten Fall räme raus: x<3 und (Bedingung) und x>0 (Lösung der Ungleichung)
Also liegt  x zwischen 0 und 3 ..... 0<x<3

Bezug
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