Brüche Integrieren < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 So 21.06.2009 | | Autor: | sirhC6 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale:
[mm] \integral_{-4}^{-2}{\bruch{4x^3-1}{2x^2}dx} [/mm] |
Hallo zusammen. Bin neu hier und jetzt schon von der Kompetenz dieses begeistert....
Aber genug geschleimt.
Ich bin momentan in der Vorbereitungsphase für meine SemesterKlausur und hänge über alten Prüfungsaufgaben. Nun hat sich mein erstes Problem ergeben.
Habe die Lösung zu dieser Aufgabe auch vorliegen.. versteh sie aber bei bestem Willen nicht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hier die Lösung:
[mm] \integral_{-4}^{-2}{\bruch{4x^3-1}{2x^2}dx} [/mm] = [mm] \integral_{-4}^{-2}{2x-\bruch{1}{2x^2} dx} [/mm] = [mm] [x^2+\bruch{1}{2x}] [/mm] = [mm] 4-\bruch{1}{4}-(16-\bruch{1}{8}) [/mm] = [mm] -\bruch{79}{8} [/mm] = -12,125
Was ich nicht verstehe ist, wie der Bruch [mm] \bruch{4x^3-1}{2x^2} [/mm] integriert wird.
Danke für kommende Hilfe
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> [mm]\integral_{-4}^{-2}{\bruch{4x^3-1}{2x^2}dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{-4}^{-2}{2x-\bruch{1}{2x^2} dx}[/mm] =
> [mm][x^2+\bruch{1}{2x}][/mm] = [mm]4-\bruch{1}{4}-(16-\bruch{1}{8})[/mm] =
> [mm]-\bruch{79}{8}[/mm] = -12,125
>
> Was ich nicht verstehe ist, wie der Bruch
> [mm]\bruch{4x^3-1}{2x^2}[/mm] integriert wird.
Er wird einfach vor dem Integrieren in zwei
Bestandteile zerlegt, die sich leicht integrieren
lassen !
Rezept: [mm] \bruch{A-B}{C}=\bruch{A}{C}-\bruch{B}{C}
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 So 28.06.2009 | | Autor: | sirhC6 |
Okay hab das in diesem Fall kapiert...
Wie geh ich im allgemeinen vor wenn ich einen Bruch integrieren will.
Beispielsweise:
[mm] \integral\bruch{2}{(x+1)^2}{dx} [/mm] ?
Hab es mit Substitution versucht.. bin da aber nicht so fit und irgendwie gescheitert.
Ich geh das mal an:
[mm]u=(x+1)^2 \Rightarrow du=2*(x+1) dx \Rightarrow dx=\bruch{du}{(x+1)}
[/mm]
so... das ganze setze ich jetzt mal ein:
[mm]\integral{\bruch{2}{u}}dx \Rightarrow \integral{\bruch{2}{u}*\bruch{du}{2(x+1)}}
[/mm]
so und ab hier hänge ich... was muss ich nun machen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 So 28.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
bevor du blindlings subst. solltest du ueberlegen, welches Integral du leicht loesen kannst. hier [mm] 1/u^2*du
[/mm]
also waer die geeignete Subst, u=x+1
(Eigentlich sollte man die Stammfkt direkt sehen , denn was 1/(x+1) abgeleitet ergibt weiss man doch.
Also mehr zielgerichtet substituieren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 So 28.06.2009 | | Autor: | sirhC6 |
Schlag mich nicht gleich, aber ich seh nicht warum [mm]\bruch{1}{u^2}*du[/mm] so praktisch ist.
Und auch deine Aussage das man doch weiß wie die Stammfunktion von [mm] \bruch{2}{(x+1)^2} [/mm] lautet... muß ich leider sagen, nein... das weiß ich nicht.
Also wäre es echt nett wenn du mir etwas genauere Lösungshinweise geben könntest.. dnake
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 So 28.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Ableitung einer fkt [mm] f(x)=x^r [/mm] ist [mm] f'=r*x^{r-1} [/mm]
unabhaengig davon was r ist. ausser r=0
entsprechend ist eine Stammfkt von [mm] f(x)=x^r, F(x)=1/(r+1)*x^{r+1} [/mm] fuer alle [mm] r\ne [/mm] 1 fuer r=1 ist ne Stammfkt ln(x)
im Fall [mm] 1/x^2 [/mm] ist r=-2
Du solltest dir vielleicht mal ne Liste von Funktionen machen, deren Ableitung du kennst, wenn du sie dann ruechwaerts liest hast du ne liste von fkt, deren Stammfkt du kennst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 So 28.06.2009 | | Autor: | sirhC6 |
Okay. Wenn es extrem einfache Brüche sind geht es ja noch..
Aber wenn ich kompliziertere Dinger Integrieren muss, stehen die sicher nicht auf meiner Liste...
z.B.:
[mm]\integral{\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}} dx}[/mm]
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> Okay. Wenn es extrem einfache Brüche sind geht es ja
> noch..
> Aber wenn ich kompliziertere Dinger Integrieren muss,
> stehen die sicher nicht auf meiner Liste...
Hallo,
Du wirst hier keine allgemeine Vorgehensweise, die für jedes Integral paßt, finden.
Integrieren kann sehr schwierig sein,
und man lernt es, indem man viel übt, damit man ein Gespür dafür bekommt, welcher Weg am ehesten zum Ziel führt.
Wichtig ist es, daß man die einschlägigen Verfahren kennt, also Substitution, partielle Integration, Partialbruchzerlegung für gewisse Brüche - und daß man einen schönen Fundus von Funktionen mit ihren Ableitungen einfach parat hat. Ohne letzteres geht es nicht.
>
> z.B.:
>
> [mm]\integral{\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}} dx}[/mm]
Das Integral ist total einfach.
Auf dieser besagten Liste hätte ich stehen
[mm] f(x)=\wurzel{x}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2\wurzel{x}}.
[/mm]
Ein Blck hierauf würde mich unverzüglich befruchten:
die Stammfunktion könnte irgendwas mit [mm] \wurzel{1-x^2} [/mm] sein...
Leite ich das [mm] F(x)=wurzel{1-x^2} [/mm] doch probehalber mal ab: [mm] F'(x)=\bruch{-2x}{2\wurzel{1-x^2}}.
[/mm]
Prima, fast ins Schwarze getroffen!
Die Stammfunktion der gesuchten Funktion ist also [mm] F(x)=-\wurzel{1-x^2}.
[/mm]
Du siehst, wie man manchmal mit Kenntnis der Differentiationsregeln gut weiterkommt.
Gruß v. Angela
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