Bsp zu Dualraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Do 04.05.2006 | | Autor: | Riley |
Hallo!
hab in einem Buch ein Bsp zu einem Dualraum gefunden, versteh aber nicht alles. es steht da:
" Im [mm] K^2 [/mm] betrachten wir neben der kanonischen Basis die Basis [mm] B=(v_1,v_2) [/mm] mit [mm] v_1=e_1 [/mm] und [mm] v_2=(1,1)^t. [/mm] Aus [mm] e_1=v_1 [/mm] und [mm] e_2=v_2-v_1 [/mm] folgt:
[mm] v_1 *(e_1) [/mm] = 1
[mm] v_1 [/mm] * [mm] (e_2) [/mm] = -1
[mm] v_2 [/mm] * [mm] (e_1) [/mm] = 0
[mm] v_2 *(e_2)=1 [/mm] "
bis dahin hab ichs verstanden, warum jeweils die gleichheit gilt
( da ja [mm] v_1 *(e_2) [/mm] = [mm] v_1 [/mm] * [mm] (v_2) [/mm] - [mm] v_1 *(v_1) [/mm] = - 1 usw.), aber nicht bei folgendem:
[mm] "v_1 [/mm] * = [mm] e_1 [/mm] * - [mm] e_2 [/mm] *
[mm] v_2 [/mm] * = [mm] e_2 [/mm] *,
also [mm] f_B(e_1) [/mm] = [mm] e_1 [/mm] * - [mm] e_2 [/mm] *
[mm] f_B(e_2) [/mm] = - [mm] e_1 [/mm] * + 2 [mm] e_2 [/mm] *"
wär super, wenn ihr mir erklären könntet, wie man auf die 4 letzten Gleichungen kommt!
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Hallo und guten Morgen,
> " Im [mm]K^2[/mm] betrachten wir neben der kanonischen Basis die
> Basis [mm]B=(v_1,v_2)[/mm] mit [mm]v_1=e_1[/mm] und [mm]v_2=(1,1)^t.[/mm] Aus [mm]e_1=v_1[/mm]
> und [mm]e_2=v_2-v_1[/mm] folgt:
> [mm]v_1 *(e_1)[/mm] = 1
> [mm]v_1[/mm] * [mm](e_2)[/mm] = -1
> [mm]v_2[/mm] * [mm](e_1)[/mm] = 0
> [mm]v_2 *(e_2)=1[/mm] "
> bis dahin hab ichs verstanden, warum jeweils die
> gleichheit gilt
> ( da ja [mm]v_1 *(e_2)[/mm] = [mm]v_1[/mm] * [mm](v_2)[/mm] - [mm]v_1 *(v_1)[/mm] = - 1 usw.),
> aber nicht bei folgendem:
> [mm]"v_1[/mm] * = [mm]e_1[/mm] * - [mm]e_2[/mm] *
Könnte es nicht sein, dass da eigentlich
[mm] v_2^{\star}=e_1^{\star}+e_2^{\star}
[/mm]
stehen müßte ? Denn es ist ja [mm] v_2=e_1+e_2.
[/mm]
Und wegen [mm] v_1=e_1 [/mm] gilt natürlich [mm] v_1^{\star}=e_1^{star}\:\neq e_1^{\star}-e_2^{\star}.
[/mm]
Hier lag mein Denkfehler, dieser Schluß ist einfach falsch. Denn was [mm] v_1^{\star} [/mm] ist, hängt nicht nur von [mm] v_1 [/mm] ab,
sondern von der gesamten Basis [mm] v_1,v_2. [/mm] Richtige Version: Siehe zweite Antwort im Strang. Gruss, Mathias
Also grundsätzlich: Auch in Büchern stehen manchmal Fehler.
Viele Grüße,
Mathias
> [mm]v_2[/mm] * = [mm]e_2[/mm] *,
> also [mm]f_B(e_1)[/mm] = [mm]e_1[/mm] * - [mm]e_2[/mm] *
> [mm]f_B(e_2)[/mm] = - [mm]e_1[/mm] * + 2 [mm]e_2[/mm] *"
> wär super, wenn ihr mir erklären könntet, wie man auf die
> 4 letzten Gleichungen kommt!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Fr 05.05.2006 | | Autor: | Riley |
dankeschön für deine antwort, also ich hab grad nochmal nachgeschaut, im buch steht: [mm] v_1 [/mm] * = [mm] e_1 [/mm] * - [mm] e_2 [/mm] *, nicht "+"
und es steht als extra anmerkung, dass zwar [mm] v_1 [/mm] = [mm] e_1, [/mm] aber [mm] v_1 [/mm] * [mm] \not= e_1 [/mm] * gilt.
das wären ein bissle viele fehler auf einmal... oder?
aber warum es gilt versteh ich noch nicht...
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Hallo nochmal,
mag an der Hitze liegen, also hier die Begründung zu Deiner Aussage:
[mm] v_1^{\star}(v_2) =1\:\:\: (e_1^{\star}-e_2^{\star})(v_1)=(e_1^{\star}-e_2^{\star})(e_1)=1-0=1
[/mm]
[mm] v_1^{\star}(v_2)=0\:\:\: (e_1^{\star}-e_2^{\star})(v_2)=(e_1^{\star}-e_2^{\star})(e_1+e_2)=e_1^{\star}(e_1+e_2)-e_2^{\star}(e_1+e_2)=1+0-(0+1)=0
[/mm]
Also stimmt die Aussage. 
Gruß,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:55 Sa 06.05.2006 | | Autor: | Riley |
okay, vielen dank für deine erklärung, so leuchtet das ein!! :)
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