Bws - Fallunterscheidung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Wenn n [mm] \in \IN [/mm] nicht durch 5 teilbar ist , so ist [mm] n^{4}-1 [/mm] durch 5 teilbar. |
Hallo,
bei einer Fallunterscheidung muss ich gewisse Fälle betrachten.
1. Fall:
n nicht durch 5 teilbar , aber dafür [mm] n^{4} [/mm] -1 durch 5 teilbar.
2. Fall:
n durch 5 teilbar , aber dafür [mm] n^{4}-1 [/mm] nicht durch 5 teilbar.
Was muss ich jetzt genau noch machen ?
Das ist ja kein richtiger Beweis..
|
|
| |
|
Hallo pc-doctor,
was darfst Du denn verwenden?
> Wenn n [mm]\in \IN[/mm] nicht durch 5 teilbar ist , so ist [mm]n^{4}-1[/mm]
> durch 5 teilbar.
> Hallo,
> bei einer Fallunterscheidung muss ich gewisse Fälle
> betrachten.
>
> 1. Fall:
> n nicht durch 5 teilbar , aber dafür [mm]n^{4}[/mm] -1 durch 5
> teilbar.
Ja, davon gibts ja vier Unterfälle. Mit dem "kleinen Fermat" kannst Du die alle auf einen Streich erledigen. Darfst Du den verwenden, also hattet ihr diesen Satz schon?
Wenn nicht: [mm] n^4-1=(n+1)(n-1)(n^2+1)
[/mm]
Damit gehts auch schnell.
> 2. Fall:
> n durch 5 teilbar , aber dafür [mm]n^{4}-1[/mm] nicht durch 5
> teilbar.
Ja. Das ist halt noch zu zeigen, geht doch aber einfach. Nimm n=5k an.
> Was muss ich jetzt genau noch machen ?
> Das ist ja kein richtiger Beweis..
Nein, Du musst schon beide Fälle zeigen und nicht nur nennen.
Grüße
reverend
PS: Habe gerade keine Zeit für Fibonacci, erst viel später.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 So 08.12.2013 | | Autor: | pc_doctor |
Danke für die Antwort.
Den "kleinen Fermat" hatten wir noch nicht.
Ich versuchs mit der Umschreibung des Terms.
PS:Danke wegen Fibonacci, dass du das nicht vergessen hast. Lass dir Zeit.
|
|
|
| |
|
Hallo Doc,
also ich bin die ganze Geschichte sehr pragmatisch angegangen.
Ich wähle irgendeine Zahl: 5k+a, mit [mm] a,k\in\IN, [/mm] oder sagen wir gleich: [mm] a\in\{0,1,2,3,4\}
[/mm]
Dann berechne man mal
[mm] T=\frac{(5k+a)^4-1}{5}=\underbrace{100ak^3+30a^2k^2+4a^3k}_{\in\IN}+\frac{a^4}{5}-\frac{1}{5}
[/mm]
Man sieht schnell, dass für a=0 die Zahl T nicht durch 5 teilbar ist, für die restlichen a aber durchaus 5|T gilt.
|
|
|
| |
|
Hallo Richie, danke für die Antwort.
Da reverend gesagt hat , dass es beim ersten Fall vier Unterfälle gibt , habe ich mir die 4 Unterfälle angeschaut:
Also 1. Fall war ja n nicht durch 5 teilbar , dafür aber [mm] n^{4}-1 [/mm] durch 5 teilbar.
Das heißt also :
1.1 : n mod 5 = 1
1.2 : n mod 5 = 2
1.3 : n mod 5 = 3
1.4 : n mod 5 = 4
Aus 1.1 folgt zum Beispiel dann , (n-1) mod 5 = 0
aus 2.2 folgt (n-2) mod 5 = 0
Das Problem ist jetzt , wie ich dieses [mm] n^{4} [/mm] -1 in die vier Unterfälle reinbekomme.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hallo Richie, danke für die Antwort.
Richies Ansatz ist schon ziemlich genial, nur kommt man da z.B. in einer Klausur wahrscheinlich nicht drauf.
> Da reverend gesagt hat , dass es beim ersten Fall vier
> Unterfälle gibt , habe ich mir die 4 Unterfälle
> angeschaut:
>
> Also 1. Fall war ja n nicht durch 5 teilbar , dafür aber
> [mm]n^{4}-1[/mm] durch 5 teilbar.
> Das heißt also :
> 1.1 : n mod 5 = 1
> 1.2 : n mod 5 = 2
> 1.3 : n mod 5 = 3
> 1.4 : n mod 5 = 4
>
> Aus 1.1 folgt zum Beispiel dann , (n-1) mod 5 = 0
> aus 2.2 folgt (n-2) mod 5 = 0
Kleiner Tippfehler: 1.2 ist ja gemeint.
Schau Dir nochmal meine Faktorisierung von [mm] x^4-1 [/mm] im ersten Post an. Damit erschlägst Du die Fälle 1.1 und 1.4 ja sofort, und die beiden andern sind im Faktor [mm] x^2+1 [/mm] enthalten.
> Das Problem ist jetzt , wie ich dieses [mm]n^{4}[/mm] -1 in die vier
> Unterfälle reinbekomme.
Naja, oder umgekehrt. 
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:59 So 08.12.2013 | | Autor: | pc_doctor |
Achsoo , oh man , jetzt habe ich es verstanden.
Danke an euch beide.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:13 Mo 09.12.2013 | | Autor: | mathe_doc |
hi richie,
bei der auflösung von [mm] \frac{(5k+a)^4-1}{5} [/mm] ist dir ein kleiner fehler unterlaufen, du schlingel.
es fehlt nämlich die [mm] 125k^4 [/mm] . es müsste also heißen:
$ [mm] T=\frac{(5k+a)^4-1}{5}=\underbrace{125k^4+100ak^3+30a^2k^2+4a^3k}_{\in\IN}+\frac{a^4}{5}-\frac{1}{5} [/mm] $
ändert aber nichts an der lösung und deiner genialität.
gruß, doc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 18:56 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo,
ja natürlich. Das fehlte. ich werde es oben nicht ändern, da ich denke, dass die Mitteilung von dir gelesen wird.
Ich danke dir für das wache Auge.
P.S. Danke für das Lob mit der genialen Idee, aber sooo genial finde ich sie selbst gar nicht.
Schönen Abend wünsch ich noch!
|
|
|
|
