CG-Verfahren < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Di 19.05.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Hier hab ich noch eine Frage, die mit den Unterräumen rein gar nix zu tun hat, es ist ein Rechenproblem.
Mein Buch sagt, dass in jedem Schritt der Fehler [mm] r^k=b-Ax^k [/mm] neu berechnet werden muss.
Da steht, dass dies am einfachsten über die Iterationsformel für [mm] x^k [/mm] geht:
Aus [mm] x^k=x^{k-1}+\alpha_{k-1}p^{k-1} [/mm] folgt [mm] Ax^k=Ax^{k-1}+\alpha_{k-1}Ap^{k-1} [/mm] und daraus folgt [mm] r^k=r^{k-1}-\alpha_{k-1}p^{k-1}
[/mm]
Also den ersten Schritt kann ich ja noch nachvollziehen, da wird einfach mit der Matrix A durchmultipliziert. Und im zweiten Schritt ist dann A multipliziert mit dem nicht optimalen x eben der Fahler r, aber wieso wird aus dem Plus plötzlich ein Minus?
Das verstehe ich nicht.
Und überhaupt, warum mach ich diesem Umweg, wenn ich r doch auch immer direkt mit [mm] r^k=b-Ax^k [/mm] berechnen kann?
LG, Nadine
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Mi 20.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen!
>
> Hier hab ich noch eine Frage, die mit den Unterräumen rein
> gar nix zu tun hat, es ist ein Rechenproblem.
>
> Mein Buch sagt, dass in jedem Schritt der Fehler [mm]r^k=b-Ax^k[/mm]
> neu berechnet werden muss.
>
> Da steht, dass dies am einfachsten über die
> Iterationsformel für [mm]x^k[/mm] geht:
>
> Aus [mm]x^k=x^{k-1}+\alpha_{k-1}p^{k-1}[/mm] folgt
> [mm]Ax^k=Ax^{k-1}+\alpha_{k-1}Ap^{k-1}[/mm] und daraus folgt
> [mm]r^k=r^{k-1}-\alpha_{k-1}\red{A}p^{k-1}[/mm]
die Matrix [mm] $\red{A}$ [/mm] ist Dir bei Deiner Rechnung sicherlich verlorengegangen...
> Also den ersten Schritt kann ich ja noch nachvollziehen, da
> wird einfach mit der Matrix A durchmultipliziert. Und im
> zweiten Schritt ist dann A multipliziert mit dem nicht
> optimalen x eben der Fahler r, aber wieso wird aus dem Plus
> plötzlich ein Minus?
>
> Das verstehe ich nicht.
[mm] $$Ax^k=Ax^{k-1}+\alpha_{k-1}Ap^{k-1}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw$$
[/mm]
[mm] $$b-Ax^k=b-(Ax^{k-1}+\alpha_{k-1}Ap^{k-1})$$
[/mm]
[mm] $$\gdw$$
[/mm]
[mm] $$\underbrace{b-Ax^k}_{=r^k}=\underbrace{(b-Ax^{k-1})}_{=r^{k-1}}-\alpha_{k-1}Ap^{k-1}\,.$$
[/mm]
Warum man das jetzt so macht, weiß ich auch nicht. Es könnte aus Effizienzgründen bzgl. eines bestimmten Algorithmus sein. Welches Buch hast Du denn?
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Mi 20.05.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Marcel!
Danke für die Antwort!
Zum Buch: Also unser Prof hat sich viel an das Buch von Deuflhard/Hohmann gehalten, allerdings glaube ich nicht, beim CG-Verfahren. Das sieht darin alles so anders aus als bei uns. Überhaupt versteh ich in unserer Vorlesungsmitschrift rein gar nix, dass ist alles total wirr, ohne Text, nur irgendwelche Formeln und Folgerungen aneinander gereiht... Ich hab mir das jetzt alles aus dem Buch Dahmen/Reusken angelesen, da stand genau das drin, was ich oben gesagt habe ("Der neue Defekt muss berechnet werden, dies geht am einfachsten über die Formel ...")
LG, Nadine
|
|
|
|
