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| Aufgabe | U [mm] \subset \IC [/mm] offen, f: U [mm] \to \IC [/mm] holomorph und [mm] \gamma:[0,2\pi]\toU, \gamma(t)=e^{it}, [/mm] sowie a [mm] \in [/mm] U.
i) [mm] U=\IC [/mm] und [mm] a\not=0 [/mm] sowie [mm] |a|\not=1. [/mm] Man berechne
[mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{(\delta-a)(\delta-1/a)} d\delta}
[/mm]
ii) man verwende i), um
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{1-2a cost+a^2} dt}
[/mm]
für [mm] a\not=0 [/mm] mit [mm] |a|\not=1 [/mm] zu berechnen |
ich kümmer mich mehr um die i)
[mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{(\delta-a)(\delta-1/a)} d\delta}=\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{i*e^{it}}{(e^{it}-a)(e^{it}-1/a)} dt}=
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{i*e^{it}}{(e^{2it}-e^{it}(a+1/a)+1} dt}=.... [/mm] die frage is, kann man das noch vereinfachen?
der übungsleiter meinte, es gäbe einen trick für dieses integral
und ich finde es auffällig das da +1 im nenner steht, so wie in ii)
hat jmd eine idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Di 15.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> U [mm]\subset \IC[/mm] offen, f: U [mm]\to \IC[/mm] holomorph und
> [mm]\gamma:[0,2\pi]\toU, \gamma(t)=e^{it},[/mm] sowie a [mm]\in[/mm] U.
> i) [mm]U=\IC[/mm] und [mm]a\not=0[/mm] sowie [mm]|a|\not=1.[/mm] Man berechne
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{(\delta-a)(\delta-1/a)} d\delta}[/mm]
>
> ii) man verwende i), um
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{1-2a cost+a^2} dt}[/mm]
> für
> [mm]a\not=0[/mm] mit [mm]|a|\not=1[/mm] zu berechnen
> ich kümmer mich mehr um die i)
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{(\delta-a)(\delta-1/a)} d\delta}=\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{i*e^{it}}{(e^{it}-a)(e^{it}-1/a)} dt}=[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{i*e^{it}}{(e^{2it}-e^{it}(a+1/a)+1} dt}=....[/mm]
> die frage is, kann man das noch vereinfachen?
> der übungsleiter meinte, es gäbe einen trick für dieses
> integral
Erst einmal kannst du dich auf den Fall $|a|<1$ beschränken, denn für $|a|>1$ musst du nur $a$ durch $1/a$ ersetzen.
Dann ist [mm] $\bruch{1}{\delta-1/a}$ [/mm] im Inneren der von [mm] $\gamma$ [/mm] begrenzten Kreisscheibe holomorph. Welche Formel springt dir da ins Auge?
> und ich finde es auffällig das da +1 im nenner steht, so
> wie in ii)
Ich würde den Bruch mit dem Faktor a erweitern.
Viele Grüße
Rainer
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hall rainer
> Erst einmal kannst du dich auf den Fall [mm]|a|<1[/mm] beschränken,
> denn für [mm]|a|>1[/mm] musst du nur [mm]a[/mm] durch [mm]1/a[/mm] ersetzen.
>
> Dann ist [mm]\bruch{1}{\delta-1/a}[/mm] im Inneren der von [mm]\gamma[/mm]
> begrenzten Kreisscheibe holomorph. Welche Formel springt
> dir da ins Auge?
ich merke du kennst dich mit sowas aus, ich leider nicht.
also 1. mal versteh ich die fall unterscheid nicht
für mich [mm] ist(\delta-a)(\delta-1/a) [/mm] für |a|<1 oder |a|>1 keinen unterschied
2. springt mir leider keine formel ins auge aber da du dir sicher bist, bin ich wohl einfach zu blind
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Di 15.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hall rainer
> > Erst einmal kannst du dich auf den Fall [mm]|a|<1[/mm]
> beschränken,
> > denn für [mm]|a|>1[/mm] musst du nur [mm]a[/mm] durch [mm]1/a[/mm] ersetzen.
> >
> > Dann ist [mm]\bruch{1}{\delta-1/a}[/mm] im Inneren der von [mm]\gamma[/mm]
> > begrenzten Kreisscheibe holomorph. Welche Formel springt
> > dir da ins Auge?
> ich merke du kennst dich mit sowas aus, ich leider nicht.
> also 1. mal versteh ich die fall unterscheid nicht
> für mich [mm]ist(\delta-a)(\delta-1/a)[/mm] für |a|<1 oder |a|>1
> keinen unterschied
Das habe ich nicht geschrieben. Ich habe geschrieben, dass man den 2. Fall durch die Erstzung [mm] $a\to1/a$ [/mm] aus dem 1. Fall bekommt. Hast du ausgerechent, was bei dieser Ersetzung aus
[mm](\delta-a)(\delta-1/a)[/mm]
wird?
> 2. springt mir leider keine formel ins auge aber da du dir
> sicher bist, bin ich wohl einfach zu blind
Und warum hast du dann deinen Post mit CIF überschrieben? Was ist CIF?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 Di 15.06.2010 | | Autor: | Kinghenni |
so ich versuch es nochmal und frag gegenenfalls nochmal nach
cif steht für cauchyscher integralformel für kreise, unser prof kürzt das immer so ab
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