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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Di 18.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Christiane!
Es sei also $V$ ein n-dimensionaler Vektorraum über dem Körper [mm] $\IK$ [/mm] und [mm] $f:V\to [/mm] V$ eine lineare Abbildung in sich, ferner [mm] $A\in \IK^{n\times n}$ [/mm] Darstellungsmatrix von $f$ bezüglich einer beliebig gewählten Basis $B$. Ein [mm] $\lambda\in\IK$ [/mm] nennen wir Eigenwert, wenn es ein [mm] $v\in [/mm] V, [mm] v\neq [/mm] 0$ mit [mm] $f(v)=\lambda v\gdw f(v)-\lambda v=(f-\lambda id_V)(v)=0$ [/mm] gibt. Also ist [mm] $\lambda\in \IK$ [/mm] genau dann Eigenwert von $f$, wenn der Kern von [mm] $f-\lambda id_V$ [/mm] nichttrivial, also von [mm] $\{0\}$ [/mm] verschieden ist. Nach dem Homomorphiesatz entspricht die Summe der Dimensionen von Kern und Bild einer linearen Abbildung genau der Dimension des zu Grunde liegenden Vektorraumes. Ist also [mm] $Kern(f-\lambda id_V)\neq\{0\}\gdw dim(Kern(f-\lambda id_V))\geq [/mm] 1$, dann ist dies folglich äquivalent zu [mm] $dim(Bild(f-\lambda id_V))
Du kannst dir nun im Folgenden noch überlegen, warum "das" charakteristische Polynom einer linearen Abbildung nicht von der Wahl der Darstellungsmatrix, d.h. von der Wahl der zu Grunde liegenden Basis $B$ abhängt. Dann schlagen wir gleich mal eine Brücke zu den Basistransformationen und den zugehörigen Transformationsmatrizen, mit denen du dich ja auch gerade befasst.
Ich hoffe ich konnte dir mit dieser etwas ausführlicheren Erklärung weiterhelfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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