C (I) ist Banach-Raum < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Mi 23.07.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag!
Dass der VR der stetigen Funktionen ein Banach-Raum ist, ist mir schon länger bekannt. Dennoch habe ich hier einen Beweis für diesen Ausagen, in dem ich ein paar Folgerungen nicht verstehe ( "rot" geschrieben).
Desweiteren binich danach auf eine Bemerkung aufmerksam geworden, die ich ebenfalls nicht nachvollziehen kann.
Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann!
SATZ :
Sei I ei kompaktes Intervall und C( I ) der [mm] \mathbb R [/mm] - Vektorraum der stetigen Funktionen [mm] f: I \to \mathbb R [/mm].
Für [mm] f \in [/mm] C( I ) sei [mm] \| f \| := \max_{x \in I } | f(x) | [/mm].
Damit wird C( I ) zu einem Banach - Raum.
BEWEIS :
Sei [mm] ( f_n ) [/mm] eine Cauchy - Folge in C( I ).
Ist [mm] x \in I [/mm], so ist [mm] ( f_n (x) )_n [/mm] eine Cauchy - Folge in [mm] \mathbb R [/mm] , konvergiert also gegen eine reelle Zahl [mm] f(x) [/mm].
(FRAGE 1: Warum ist das so? )
Die Funktionenfolge [mm] (f_n) [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen f:
( FRAGE 2 : Zeigen wir die Gleichmäßigkeit, damit wir sagen können, dass die Grentfunktion stetig ist und wir dann somit gezeigt hätten, dass jede Cauchy - Folge in C (I) konvergert, also auch die Grentfunktion f stetig ist und somit in C (I) enthalten ist ? )
Sei [mm] \epsilon > 0 [/mm].
Es gibt ein [mm] N \in \mathbb N [/mm] mit [mm] | f_n (x) - f_m (x) | \le \bruch{ \epsilon}{2} \ \forall \ n,m \ge N [/mm] und [mm] \forall \ x \in I [/mm] .
(FRAGE 3: Ist das so, weil wir wissen, dass [mm] ( f_n ) [/mm] eine Cauchy -Folge ist ? )
Ist [mm] x \in I [/mm] und [mm] n \ge N [/mm] , so gibt es [mm] m \ge N [/mm] mit [mm] | f_m (x) - f(x) | < \bruch{ \epsilon}{2} [/mm], also
[mm] | f_n (x) - f(x) | \le | f_n (x) - f_m (x) | + | f_m (x) - f(x) | < \bruch{ \epsilon}{2} + \bruch{ \epsilon}{2} = \epsilon [/mm]
Nach Analysis I ist somit f stetig, also [mm] f \in [/mm] C( I ).
Bemerkung :
Konvergenz einer Folge [mm] (f_n) [/mm] in C (I) bedeutet gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge [mm] (f_n) [/mm] auf I.
Warum?
Vielen Dank
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Mi 23.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Dann wolln wir mal:
Zu Frage 1: ist x [mm] \in [/mm] I, so gilt:
[mm] |f_{n}(x) [/mm] - [mm] f_{m}(x)| \le ||f_{n} [/mm] - [mm] f_{m}||, [/mm]
da [mm] (f_{n}) [/mm] eine Cauchyfolge in C(I) ist, ist [mm] (f_{n}(x)) [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] \IR.
[/mm]
Zu Frage 2: das hast Du richtig erkannt.
Zu Frage 3: Sei [mm] \epsilon [/mm] > 0. Dann gibt es ein $ N [mm] \in \mathbb [/mm] N $ mit
[mm] ||f_{n} [/mm] - [mm] f_{m}|| [/mm] < [mm] \bruch{ \epsilon}{2} [/mm] für alle n,m [mm] \ge [/mm] N,
denn [mm] (f_{n}) [/mm] ist eine Cauchyfolge in C(I).
Also gilt für jedes x [mm] \in [/mm] I:
[mm] |f_{n}(x) [/mm] - [mm] f_{m}(x)| \le ||f_{n} [/mm] - [mm] f_{m}|| [/mm] < [mm] \bruch{ \epsilon}{2} [/mm] für alle n,m [mm] \ge [/mm] N,
Hilft Dir das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Mi 23.07.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
> Zu Frage 3: Sei [mm]\epsilon[/mm] > 0. Dann gibt es ein [mm]N \in \mathbb N[/mm]
> mit
>
> [mm]||f_{n}[/mm] - [mm]f_{m}||[/mm] < [mm]\bruch{ \epsilon}{2}[/mm] für alle n,m [mm]\ge[/mm]
> N,
>
> denn [mm](f_{n})[/mm] ist eine Cauchyfolge in C(I).
> Also gilt für jedes x [mm]\in[/mm] I:
>
> [mm]|f_{n}(x)[/mm] - [mm]f_{m}(x)| \le ||f_{n}[/mm] - [mm]f_{m}||[/mm] < [mm]\bruch{ \epsilon}{2}[/mm]
> für alle n,m [mm]\ge[/mm] N,
>
> Hilft Dir das ?
Also ,dann gehe ich doch richtig davon aus, dass hier einfach die Tatsache vewendet wird, dass es sich hier um eine Cauchy -Folge handelt, und dass eben in diesem Fall, ab einem genügend großen N, die Folgegleider die danach kommen, sich beliebig nahe näheren, unabhängig vom x.
Richtig?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Mi 23.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Richtig
FRED
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