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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Di 02.01.2007 | | Autor: | Phoney |
Guten Tag,
ich bin gerade dabei, meine Vorlesung durchzuarbeiten und dummerweise habe ich wieder ein großes Fragezeichen im Gesicht. Vielleicht sieht es sich ja jemand mal an:
[
(x,y)(u,v) := (xu-yv,yu+xv)
[mm] \IC: [/mm] (x+iy)(u+iv)
]
Satz: [mm] \IC [/mm] sei ein Käörper:
....
Inverse:
1) Additives Inverses
...
2)Multipl. Inverses von [mm] z=(x,y)\not=(0,0)
[/mm]
(x,y)*(u,v) = (1,0)
[mm] \gdw \begin{cases} xu-yv=1\\ yu+xv = 0 \end{cases}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (u,v) = [mm] (\br{x}{x^2+y^2}-\br{y}{x^2+y^2})=:\br{1}{z}
[/mm]
Die Zeile verstehe ich nicht. Wie kommt man hier auf 1/z?
z müsste doch einfach die komplexe Zahl z=x+iy sein.
Dann wäre 1/z = [mm] \br{1}{x+iy}
[/mm]
Jetzt muss ich ja das i quadrieren, sodass ich dann aus [mm] i^2 [/mm] dann -1 machen kann. nur wie soll das gehen.... ich kann da ja nicht mit i erweitern, weil sonst kein i mehr im Ausdruck steht.
Vielleicht sieht jemand, was da gemacht wurde?
Viele Grüße
Phoney
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Hallo Phoney!
> Guten Tag,
>
> ich bin gerade dabei, meine Vorlesung durchzuarbeiten und
> dummerweise habe ich wieder ein großes Fragezeichen im
> Gesicht. Vielleicht sieht es sich ja jemand mal an:
>
> [
> (x,y)(u,v) := (xu-yv,yu+xv)
>
> [mm]\IC:[/mm] (x+iy)(u+iv)
>
> ]
>
> Satz: [mm]\IC[/mm] sei ein Käörper:
> ....
> Inverse:
> 1) Additives Inverses
> ...
> 2)Multipl. Inverses von [mm]z=(x,y)\not=(0,0)[/mm]
> (x,y)*(u,v) = (1,0)
> [mm]\gdw \begin{cases} xu-yv=1\\ yu+xv = 0 \end{cases}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] (u,v) = [mm](\br{x}{x^2+y^2}-\br{y}{x^2+y^2})=:\br{1}{z}[/mm]
>
>
> Die Zeile verstehe ich nicht. Wie kommt man hier auf 1/z?
Naja, also das [mm] \bruch{1}{z} [/mm] ist ja genau das, was gesucht ist. Und zwar ist z unsere Zahl, zu der wir das Inverse suchen, und dann ist natürlich [mm] z*\bruch{1}{z}=\mbox{neutrales Element} [/mm] und das neutrale Element ist (1,0)=1+0*i. Und statt [mm] \bruch{1}{z} [/mm] haben wir das gesuchte Element oben (u,v) genannt. Deswegen steht hier jetzt auch [mm] (u,v)=...=\br{1}{z}.
[/mm]
> z müsste doch einfach die komplexe Zahl z=x+iy sein.
>
> Dann wäre 1/z = [mm]\br{1}{x+iy}[/mm]
>
> Jetzt muss ich ja das i quadrieren, sodass ich dann aus [mm]i^2[/mm]
> dann -1 machen kann. nur wie soll das gehen.... ich kann da
> ja nicht mit i erweitern, weil sonst kein i mehr im
> Ausdruck steht.
Ich weiß nicht so ganz, was du hier meinst - wieso willst du das i quadrieren? Ich würde mit dem komplex konjugierten des Nenners erweitern. Dann erhältst du:
[mm] \br{1}{x+iy}=\br{x-iy}{(x+iy)(x-iy)}=\br{x-iy}{x^2+y^2}=\br{x}{x^2+y^2}-\br{y}{x^2+y^2}
[/mm]
Und damit bist du schon am Ziel.
> Vielleicht sieht jemand, was da gemacht wurde?
So, wie das oben aber aufgeschrieben ist, dachte ich, dass es vielleicht anders gemacht wurde, und zwar einfach mit einem LGS. Du hast doch da stehen:
xu-yv=1 und xv+yu=0
Da die Zahl z ja als bekannt vorausgesetzt ist, hast du nur noch u und v als Unbekannte, nach denen du auflösen willst. Wenn du das machst, bekommst du genau das obige Ergebnis: [mm] u=\br{x}{x^2+y^2} [/mm] und [mm] v=\br{-y}{x^2+y^2}.
[/mm]
Alles klar? 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Di 02.01.2007 | | Autor: | Phoney |
Hallo Bastiane ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
Danke dir für diese super tolle Antwort!!!!
> Ich weiß nicht so ganz, was du hier meinst - wieso willst
> du das i quadrieren? Ich würde mit dem komplex konjugierten
Keine Ahnung! Irgendwie muss man ja an die Sache herangehen, oder?
> des Nenners erweitern. Dann erhältst du:
>
> [mm]\br{1}{x+iy}=\br{x-iy}{(x+iy)(x-iy)}=\br{x-\red{i}y}{x^2+y^2}=\br{x}{x^2+y^2}-\br{y}{x^2+y^2}[/mm]
>
> Und damit bist du schon am Ziel.
Wohin verschwindet das i?
Grüße,
Johann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Di 02.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo johann
das i ist dahin verschwunden, wo in deinem vorherigen post das Komma zwischen den 2 Ausdrücken gegangen ist! einfach ein Leichtsinns oder Schreibfehler, das rote i ist richtig, sonst wäre 1/z ja reell!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Mi 03.01.2007 | | Autor: | Phoney |
Hoi,
> das i ist dahin verschwunden, wo in deinem vorherigen post
> das Komma zwischen den 2 Ausdrücken gegangen ist! einfach
> ein Leichtsinns oder Schreibfehler, das rote i ist richtig,
> sonst wäre 1/z ja reell!
Aber danach ist es einfach so weg: [mm] \br{x}{x^2+y^2}-\br{y}{x^2+y^2} [/mm]
Warum habe ich aber noch nicht verstanden.
Wo soll denn ein Schreibfehler sein, hier:
[mm] (u\red{i}v) [/mm] = [mm] (\br{x}{x^2+y^2}-\br{\red{i} y}{x^2+y^2})=:\br{1}{z}
[/mm]
?
Oder wie soll es lauten?
Gruß,
Johann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Mi 03.01.2007 | | Autor: | Blueman |
> Hoi,
>
> > das i ist dahin verschwunden, wo in deinem vorherigen post
> > das Komma zwischen den 2 Ausdrücken gegangen ist! einfach
> > ein Leichtsinns oder Schreibfehler, das rote i ist richtig,
> > sonst wäre 1/z ja reell!
>
> Aber danach ist es einfach so weg:
> [mm]\br{x}{x^2+y^2}-\br{y}{x^2+y^2}[/mm]
> Warum habe ich aber noch nicht verstanden.
Nein es ist nicht weg, es ist nochmal ein Tippfehler.
> Wo soll denn ein Schreibfehler sein, hier:
> [mm](u\red{i}v)[/mm] = [mm](\br{x}{x^2+y^2}-\br{\red{i} y}{x^2+y^2})=:\br{1}{z}[/mm]
>
> ?
> Oder wie soll es lauten?
So:
[mm](u\red{,}v)[/mm] = [mm](\br{x}{x^2+y^2} \red{,} \br{y}{x^2+y^2})=:\br{1}{z}[/mm]
Eine komplexe Zahl kann man ja auch als Paar von reellen Zahlen darstellen. (Gauss- Ebene)
Viele Grüße,
Blueman
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