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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Fr 12.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo ihr,
zwei unendliche Mengen sind ja gleichmächtig, wenn zwischen ihnen eine bijektive Abbildung existiert.
Ich habe nun einen Beweis mit Cantors Diagonalverfahren vor mir liegen, den ich nicht verstehe. Er soll zeigen, dass [mm] \IN [/mm] und [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] gleichmächtig sind.
Der Beweis besteht nur aus einer Zeichnung:
(1,1)->(2,1) (3,1)...
(1,2) (2,2) (3,2)...
(1,3)(2,3)(3,3)...
....
wobei die Elemente diagonal durchlaufen werden, also:
(1,1)->(2,1)->(1,2)->(1,3)->(2,2)->(3,1)...
Die Tupel sollen wollen die Elemente von [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] darstellen, aber woran erkenne ich nun dass beide Mengen gleichmächtig sind?
Viele Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 Fr 12.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Hallo ihr,
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> zwei unendliche Mengen sind ja gleichmächtig, wenn zwischen
> ihnen eine bijektive Abbildung existiert.
>
> Ich habe nun einen Beweis mit Cantors Diagonalverfahren vor
> mir liegen, den ich nicht verstehe. Er soll zeigen, dass
> [mm]\IN[/mm] und [mm]\IN[/mm] x [mm]\IN[/mm] gleichmächtig sind.
>
> Der Beweis besteht nur aus einer Zeichnung:
> (1,1)->(2,1) (3,1)...
> (1,2) (2,2) (3,2)...
> (1,3)(2,3)(3,3)...
> ....
>
> wobei die Elemente diagonal durchlaufen werden, also:
> (1,1)->(2,1)->(1,2)->(1,3)->(2,2)->(3,1)...
Das ist nun die Abbildung.
[mm] $F:\IN\to\IN\times\IN$
[/mm]
F(1):=(1,1); F(2):=(2,1); F(3):=(1,2); F(4):=(1,3)...
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> Die Tupel sollen wollen die Elemente von [mm]\IN[/mm] x [mm]\IN[/mm]
> darstellen, aber woran erkenne ich nun dass beide Mengen
> gleichmächtig sind?
Daran, daß Du mit dieser Abbildung früher oder später jedes Element [mm] $(i,j)\in\IN\times\IN$ [/mm] erreichen wirst. Ein beliebiges $(i,j)$ liegt auf der (i+j-1)-ten Diagonalen (1. es liegt auf einer Diagonalen) und es sind maximal [mm] $\sum_{k=1}^{i+j-1}k$ [/mm] Schritte erforderlich (2. es ist in endlich vielen Schritten erreichbar) bis Du dort bist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Fr 12.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo Blech,
vielen Dank für deine Hilfe!
Liebe Grüße
Elefanti
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