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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:53 Sa 08.12.2012 | | Autor: | arraneo |
Hey.
Aufgabe: Cantor Menge:
[mm] C=\bigcap_{n\in N_0} C_n [/mm] , [mm] C_0:=[0,1] [/mm] , [mm] C_n:= \bigcup_{j=1}^{ \bruch{\red{3^n}-1}{2}}[ \bruch{2j}{3^n},\bruch{2j+1}{3^n}] [/mm] , für [mm] n\in [/mm] N .
Z.z. : [mm] C=\{ \summe_{i=1}^{\red{\infty}} \bruch{\red {a_i}}{\red{3^i}}| a_{\red i}\in \{0,2\} ,\forall {\red i}\in N \}
[/mm]
Ich weiß gar nicht womit ich anfangen sollte. Vielleicht kann jemanden so nett sein und mir eine Idee geben, oder einen Ansatz dafür.
Ich verstehe nämlich auch nicht wie diese Folge [mm] a_n [/mm] aussehen sollte..
Vielen Dank im Voraus.
lg. arraneo
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:43 Sa 08.12.2012 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | > Aufgabe: Cantor Menge:
>
> [mm]C=\bigcap_{n\in N_0} C_n[/mm] , [mm]C_0:=[0,1][/mm] , [mm]C_n:= \bigcup_{j=1}^{ \bruch{3n-1}{2}}[ \bruch{2j}{3^n},\bruch{2j+1}{3^n}][/mm]
> , für [mm]n\in[/mm] N .
>
> Z.z. : [mm]C=\{ \summe_{i=1}^{n} \bruch{a_n}{3^n}| a_n\in \{0,2\} ,\forall n\in N \}[/mm] |
Hallo Leute,
ich habe ebenfalls die obige Aufgabe zu lösen und bin nun auf den Trichter gekommen mit den Voraussetzungen zu spielen, also meine Idee ist:
[mm] C=\bigcap_{n\in N_0} C_n [/mm] = [mm] \{ \summe_{i=1}^{n} \bruch{a_n}{3^n}| a_n\in \{0,2\} ,\forall n\in N \}
[/mm]
Nun müsste ich quasi noch
[mm] \bigcap_{n\in N_0} C_n=\bigcap_{n\in N_0} \bigcup_{j=1}^{ \bruch{3n-1}{2}}[ \bruch{2j}{3^n},\bruch{2j+1}{3^n}] [/mm] zeigen... sieht allerdings etwas komisch aus...
Weiß aber nicht wie... noch ob der Lösungsgedanke richtig ist...
Jemand ne Idee??
Silfide
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 So 09.12.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Ihr beiden,
die in der Aufgabe angegebene Menge ist keineswegs die Cantormenge. Korrigiert bitte eure Fragen und versucht dann, Euch die Menge bildlich verzustellen. Ist die Cantormenge in $[0;1]$ enthalten? Liegen $0$, $1$, $1/2$, [mm] $1/3^{15}$ [/mm] in dieser Menge? Wenn Ihr diese Fragen für Euch beantwortet habt, können wir weitermachen.
liebe Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 So 09.12.2012 | | Autor: | arraneo |
sorry, auf unser Blatt steht Cantor Menge. Von was ich im Internet gefunden habe, stimmt das ja auch..
Das Problem besteht allerdings nicht in dem Namen..
vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 So 09.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> sorry, auf unser Blatt steht Cantor Menge. Von was ich im
> Internet gefunden habe, stimmt das ja auch..
>
> Das Problem besteht allerdings nicht in dem Namen..
Nein! Aber in Euren falschen Indizes. Dies sind so viele, daß ich das nicht selber korrigieren wollte, sondern Euch zum Einstieg in die Lösung überlasse.
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 So 09.12.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Helbig,
dann korrigier die Aufgabenstellung doch gleich, es muss einfach heißen:
$ [mm] C_n:= \bigcup_{j=0}^{ \bruch{3^n-1}{2}}[ \bruch{2j}{3^n},\bruch{2j+1}{3^n}] [/mm] $
Dann ist es auch die gewohnte Cantormenge.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 So 09.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo Helbig,
>
> dann korrigier die Aufgabenstellung doch gleich, es muss
> einfach heißen:
>
> [mm]C_n:= \bigcup_{j=0}^{ \bruch{3^n-1}{2}}[ \bruch{2j}{3^n},\bruch{2j+1}{3^n}][/mm]
>
> Dann ist es auch die gewohnte Cantormenge.
Hallo Gono,
Ja, wenn das alles wäre! Aber auch die Definition von $C$ ist unsinnig.
Gruß,
Wolfgang
>
> MFG,
> Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 So 09.12.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Wolfgang,
welches C meinst du denn??
[mm] C=\bigcap_{n \in \IN_{0}} C_{n}
[/mm]
oder meinst du
C={ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{a_{n}}{3^{n}} |a_{n}={0,2} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] } ??
Silfide
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:29 So 09.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo Wolfgang,
>
> welches C meinst du denn??
Die Gleichung unten. Und die Definition von [mm] $C_n$ [/mm] oben. Ich habe es mittlerweile korrigiert.
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 So 09.12.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Ja, wenn das alles wäre! Aber auch die Definition von [mm]C[/mm] ist unsinnig.
Ich schließe mich hier Silfide an.
Welches C meinst du? ^^
Der Rest ist mMn eigentlich klar.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 So 09.12.2012 | | Autor: | silfide |
> Hiho,
>
> > Ja, wenn das alles wäre! Aber auch die Definition von [mm]C[/mm]
> ist unsinnig.
>
> Ich schließe mich hier Silfide an.
> Welches C meinst du? ^^
> Der Rest ist mMn eigentlich klar.
Eigentlich klar... das wünschte ich...
Habe versucht der Lage Herr zu werden und die ganze Nacht gegrübelt... nix ist klar...
Außer meiner schieren Verweiflung...
Wie man mir es Freitag erklärt hat, was die Cantor-Menge ist und wie man sie konstruiert... das war klar...!!
Silfide
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 So 09.12.2012 | | Autor: | arraneo |
hey,
Ich die Aufgabe genauso hingeschrieben, wie ich sie bekommen habe. Ich kann keine Änderungen machen, nur weil es unsinnig aussieht. :(
Wir müssen leider damit arbeiten.. Kann uns jemanden dabei hilfreich sein? Ich verstehe noch weniger von der Aufgabe als ihr.
Unsere Tutorin hat uns diesen Tipp letztendlich per Email geschickt:
''nutzt dazu die b-adische darstellung zu b = 3 dann muss gezeigt werden, dass 1 nicht gebraucht wird und auch, dass jedes element aus der gegebenen menge tatsächlich in C liegt''
das ist mir aber noch weniger verständlich..
Vielen Dank,
arraneo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 So 09.12.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Ihr beiden,
> hey,
>
> Ich die Aufgabe genauso hingeschrieben, wie ich sie
> bekommen habe. Ich kann keine Änderungen machen, nur weil
> es unsinnig aussieht. :(
Es sieht nicht nur unsinnig aus, es ist es auch. Ich habe mal versucht, für Euch in das Geschriebene das vermutlich Gemeinte hineinzukorrigieren. Aber wenn Ihr öfter solche Aufgaben bekommt, müßt ihr wohl oder übel sowas auch noch lernen.
So, jetzt versucht mal, Euch von den Denkanstößen in meinr Mitteilung inspirieren zu lassen. Beantwortet einfach die Fragen.
> Unsere Tutorin hat uns diesen Tipp letztendlich per Email
> geschickt:
> ''nutzt dazu die b-adische darstellung zu b = 3 dann muss
> gezeigt werden, dass 1 nicht gebraucht wird und auch, dass
> jedes element aus der gegebenen menge tatsächlich in C
> liegt''
>
Gebt doch mal den (unendlichen) Dezimalbruch einer reellen Zahl in $[0, 1]$ an. In welchem Bereich liegen die Dezimalziffern? Und jetzt schreibt diese Darstellung als Reihe. Und jetzt 3 statt 10. Was sind die möglichen "Tertialziffern" in einem "Tertialbruch"?
So erkennt Ihr bestimmt den Zusammenhang mit der (von mir korrigierten ) Aufgabe.
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 So 09.12.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Wolfgang,
du hast natürlich mit deiner Korrektur recht...
Steht bei mir auch so auf dem Blatt nur mit einem n statt i ...
Ist aber völlig untergegangen durch diese ganzen Indizies...
Silfide
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 So 09.12.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Wolfgang,
Ist die
> Cantormenge in [mm][0;1][/mm] enthalten?
Ja ist sie... da [mm] C_{0}=[0,1] [/mm] ist
Liegen [mm]0[/mm], [mm]1[/mm],
Ja, tun sie! Da Randpunkte.
[mm]1/2[/mm],
Nein, tut es nicht, da schon beim ersten Schritt 1/3 aus der Mitte des Intervalls [0,1] rausgenommen wird...
[mm]1/3^{15}[/mm]
Okay, es ist doch ein Randpunkt und liegt in der Cantormenge... da [mm] \bruch{1}{3^{n}} [/mm] die Randpunkte markieren.
> in dieser Menge?
Mia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 So 09.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo Wolfgang,
>
> Ist die
> > Cantormenge in [mm][0;1][/mm] enthalten?
>
> Ja ist sie... da [mm]C_{0}=[0,1][/mm] ist
>
>
>
>
> Liegen [mm]0[/mm], [mm]1[/mm],
>
> Ja, tun sie! Da Randpunkte.
>
>
>
> [mm]1/2[/mm],
>
> Nein, tut es nicht, da schon beim ersten Schritt 1/3 aus
> der Mitte des Intervalls [0,1] rausgenommen wird...
>
>
> [mm]1/3^{15}[/mm]
>
> Okay, es ist doch ein Randpunkt und liegt in der
> Cantormenge... da [mm]\bruch{1}{3^{n}}[/mm] die Randpunkte
> markieren.
>
> > in dieser Menge?
OK! Alles richtig!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 So 09.12.2012 | | Autor: | silfide |
Hey nochmal,
Man kann doch sagen, dass
[mm] C=\bigcap_{n \in \IN_{0}} ([0,\bruch{1}{3^{n}}] \cup [/mm] ... [mm] \cup [\bruch{3^{n}-1}{3^{n}},1] [/mm] ) ist und ist das nicht gleich die [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_{n}}{3^{n}} [/mm] für [mm] a_{n}= [/mm] { 0,2 } für alle n [mm] \in \IN??
[/mm]
Silfide
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 So 09.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hey nochmal,
>
> Man kann doch sagen, dass
> [mm]C=\bigcap_{n \in \IN_{0}} ([0,\bruch{1}{3^{n}}] \cup[/mm] ...
> [mm]\cup [\bruch{3^{n}-1}{3^{n}},1][/mm] ) ist und ist das nicht
> gleich die [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_{n}}{3^{n}}[/mm] für
> [mm]a_{n}=[/mm] { 0,2 } für alle n [mm]\in \IN??[/mm]
>
Ja, das kann man sagen!
Oder etwas genauer:
Wir müssen zeigen, daß jeder Zahl der Form [mm] $k/3^n,\; 0\le [/mm] k [mm] \le 3^n$ [/mm] (das sind gerade die Randpunkte der Intervalle in [mm] $C_n$) [/mm] eine Tertialbruchdarstellung
[mm] $0,a_1a_2a_3\ldots$ [/mm] hat, wobei die Ziffern [mm] $a_n$ [/mm] in ${0, 2}$ liegen.
So ist $1/3 = 0,1$, aber dies ist ja verboten. Zum Glück ist aber auch [mm] $1/3=0,022\ldots$ [/mm] und hat damit eine erlaubte Tertialbruchdarstellung. Bei 2/3 haben wir sofort die erlaubte Darstellung [mm] $2/3=0,2\,.$
[/mm]
So, und nun zeigen wir, daß jede Zahl [mm] $k/3^n$ [/mm] mit [mm] $3^n\ge k\ge [/mm] 0$ eine erlaubte Tertialbruchdarstellung hat. Dabei können wir benutzen, daß sich jede Zahl in $[0,1]$ als Tertialbruch darstellen läßt. Wenn in der Ziffernfolge eine $1$ auftritt, ersetzen wir die am am weitesten links stehende durch [mm] $\ldots 022\ldots\,.$ [/mm] und haben damit eine erlaubte Darstellung gefunden. Dies solltest Du vielleicht mit den entsprechenden Reihen begründen.
Dann bleibt noch umgekehrt zu zeigen, daß erlaubte Tertialbrüche nur Intervallenden darstellen.
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 So 09.12.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Wolfgang,
> Oder etwas genauer:
>
> Wir müssen zeigen, daß jeder Zahl der Form [mm]k/3^n,\; 0\le k \le 3^n[/mm]
> (das sind gerade die Randpunkte der Intervalle in [mm]C_n[/mm]) eine
> Tertialbruchdarstellung
> [mm]0,a_1a_2a_3\ldots[/mm] hat, wobei die Ziffern [mm]a_n[/mm] in [mm]{0, 2}[/mm]
> liegen.
>
> So ist [mm]1/3 = 0,1[/mm], aber dies ist ja verboten. Zum Glück ist
> aber auch [mm]1/3=0,022\ldots[/mm] und hat damit eine erlaubte
> Tertialbruchdarstellung. Bei 2/3 haben wir sofort die
> erlaubte Darstellung [mm]2/3=0,2\,.[/mm]
>
> So, und nun zeigen wir, daß jede Zahl [mm]k/3^n[/mm] mit [mm]3^n\ge k\ge 0[/mm]
> eine erlaubte Tertialbruchdarstellung hat. Dabei können
> wir benutzen, daß sich jede Zahl in [mm][0,1][/mm] als Tertialbruch
> darstellen läßt. Wenn in der Ziffernfolge eine [mm]1[/mm]
> auftritt, ersetzen wir die am am weitesten links stehende
> durch [mm]\ldots 022\ldots\,.[/mm] und haben damit eine erlaubte
> Darstellung gefunden. Dies solltest Du vielleicht mit den
> entsprechenden Reihen begründen.
>
> Dann bleibt noch umgekehrt zu zeigen, daß erlaubte
> Tertialbrüche nur Intervallenden darstellen.
Leider hatten wir sowas nicht mal ansatzweise und von daher dürfen wir es auch nicht benutzen ... sobald ich weiß...
allerdings ist mir auch bewußt, dass mein Versuch nicht als Beweis durchgehen wird... gibt es noch andere Möglichkeiten dies zu verdeutlichen??
Mia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 So 09.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo Wolfgang,
>
> > Oder etwas genauer:
> >
> > Wir müssen zeigen, daß jeder Zahl der Form [mm]k/3^n,\; 0\le k \le 3^n[/mm]
> > (das sind gerade die Randpunkte der Intervalle in [mm]C_n[/mm]) eine
> > Tertialbruchdarstellung
> > [mm]0,a_1a_2a_3\ldots[/mm] hat, wobei die Ziffern [mm]a_n[/mm] in [mm]{0, 2}[/mm]
> > liegen.
> >
> > So ist [mm]1/3 = 0,1[/mm], aber dies ist ja verboten. Zum Glück ist
> > aber auch [mm]1/3=0,022\ldots[/mm] und hat damit eine erlaubte
> > Tertialbruchdarstellung. Bei 2/3 haben wir sofort die
> > erlaubte Darstellung [mm]2/3=0,2\,.[/mm]
> >
> > So, und nun zeigen wir, daß jede Zahl [mm]k/3^n[/mm] mit [mm]3^n\ge k\ge 0[/mm]
> > eine erlaubte Tertialbruchdarstellung hat. Dabei können
> > wir benutzen, daß sich jede Zahl in [mm][0,1][/mm] als Tertialbruch
> > darstellen läßt. Wenn in der Ziffernfolge eine [mm]1[/mm]
> > auftritt, ersetzen wir die am am weitesten links stehende
> > durch [mm]\ldots 022\ldots\,.[/mm] und haben damit eine erlaubte
> > Darstellung gefunden. Dies solltest Du vielleicht mit den
> > entsprechenden Reihen begründen.
> >
> > Dann bleibt noch umgekehrt zu zeigen, daß erlaubte
> > Tertialbrüche nur Intervallenden darstellen.
>
>
> Leider hatten wir sowas nicht mal ansatzweise und von daher
> dürfen wir es auch nicht benutzen ... sobald ich weiß...
Was meinst Du mit "sowas"? Tertialbrüche? Da benutzen wir nichts Besonderes, sondern nur die uns von den Dezimalbrüchen vertraute Schreibweise [mm] $0,a_1a_2a_3\ldots$ [/mm] für den Reihenwert [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n/3^n\,.$ [/mm] Diese Schreibweise entschärft unseren gemeinsamen Kampf mit Indizes. Schon deswegen sollten wir sie nutzen!
Zeige doch mal: [mm] $0,a_1a_2\ldots a_n10\ldots [/mm] = [mm] 0,a_1a_2\ldots a_n [/mm] 0 2 2 [mm] \ldots\,.$ [/mm] Dann hast Du schon mal gezeigt, daß es zu jedem Intervallende eine erlaubte Darstellung als Tertialbruch gibt, also [mm] $C\subseteq \left\{\sum_{n=1}^{\infty} a_n/3^n \colon a_n\in \{0, 2\}\right\}\,.$
[/mm]
Grüße,
Wolfgang
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 So 09.12.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Wolfgang,
> Was meinst Du mit "sowas"? Tertialbrüche?
Ja, genau, dass meinte ich!
>Da benutzen wir
> nichts Besonderes, sondern nur die uns von den
> Dezimalbrüchen vertraute Schreibweise [mm]0,a_1a_2a_3\ldots[/mm]
> für den Reihenwert [mm]\sum_{n=1}^\infty a_n/3^n\,.[/mm]
Leider sagt mir auch diese Schreibweise nichts.
Kennst du ne Seite wo man was dazu nachlesen kann??
Würde es schon gerne verstehen...
Mia
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 So 09.12.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Mia,
>
> > Was meinst Du mit "sowas"? Tertialbrüche?
>
> Ja, genau, dass meinte ich!
>
> >Da benutzen wir
> > nichts Besonderes, sondern nur die uns von den
> > Dezimalbrüchen vertraute Schreibweise [mm]0,a_1a_2a_3\ldots[/mm]
> > für den Reihenwert [mm]\sum_{n=1}^\infty a_n/3^n\,.[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Leider sagt mir auch diese Schreibweise nichts.
> Kennst du ne Seite wo man was dazu nachlesen kann??
> Würde es schon gerne verstehen...
Schauen wir uns mal Dezimalbrüche an:
$0,1 = \frac 1 {10}$
$0,25 = \frac 2 {10} + \frac 5 {100}$
$0,9999\ldots = \frac 9 {10} + \frac 9 {100} + \frac 9 {1000} + \ldots = \sum_{n=1}^\infty \frac 9 {10^n} = 9\sum_{n=1}^\infty \left (\frac 1 {10}\right)^n = 9*\frac 1 9 = 1\,.$
Analog bei Tertialbrüchen. Die Tertialziffern sind $0$, $1$ oder $2$.
zum Beispiel:
$0,2 = \frac 2 3$
$0,21 = \frac 2 3 + \frac 1 9\,.$
Oder allgemein:
$0,a_1a_2a_3\ldots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac {a_n} {3^n}\,.$
Man kann mit solchen Tertialbrüchen (endlichen oder unendlichen) alle reellen Zahlen in $[0; 1]$ darstellen. Interessant für uns ist dabei, wie die Ziffernfolge für eine Zahl $x\in[0;1]$ bestimmt wird:
Hierzu wird das Intervall $[0; 1]$ in drei gleichlange Intervalle aufgeteilt. Machen wir das gleichmal für $C_1$: Dann sind die Teilintervalle
[0; 1/3], (1/3; 2/3) und [2/3; 1].
Liegt die Zahl im linken Intervall, ist die erste Tertialziffer 0 oder 1, liegt sie im mittleren Intervall, so muß die erste Ziffer 1 sein, liegt sie im rechten Intervall, so ist die Ziffer 2. Da die Ziffer 1 verboten ist, liegt keine Zahl, die mit einem erlaubten Tertialbruch dargestellt wird, in (1/3;2/3). Und dies ist auch gut so, da ja das mittlere Intervall ausgeschnitten wird. Jetzt kann man $C_2$ untersuchen und rekursiv $C_n$ für alle $n\in \IN\,.$ So sieht man, daß keine Zahl der ausgeschnittenen Intervalle durch einen erlaubten Tertialbruch dargestellt werden kann.
Umgekehrt können wir alle Randpunkte der Intervalle durch erlaubte Tertialbrüche darstellen. Für zum Beispiel $1/3$ gibt es eine verbotene Darstellung 0,1 und eine erlaubte, nämlich $0,02222\ldots\,.$
Grüße,
Wolfgang
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 So 09.12.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Wolfgang,
ich nerv dich heute besonders ausgiebig...
> Schauen wir uns mal Dezimalbrüche an:
>
> [mm]0,1 = \frac 1 {10}[/mm]
>
> [mm]0,25 = \frac 2 {10} + \frac 5 {100}[/mm]
>
> [mm]0,9999\ldots = \frac 9 {10} + \frac 9 {100} + \frac 9 {1000} + \ldots = \sum_{n=1}^\infty \frac 9 {10^n} = 9\sum_{n=1}^\infty \left (\frac 1 {10}\right)^n = 9*\frac 1 9 = 1\,.[/mm]
Also das hier verstehe ich ... aber ...
>
> Analog bei Tertialbrüchen. Die Tertialziffern sind [mm]0[/mm], [mm]1[/mm]
> oder [mm]2[/mm].
>
> zum Beispiel:
>
> [mm]0,2 = \frac 2 3[/mm]
das hier, ist mir ein Rätsel... wieso ist das so... also wieso ist [mm] \bruch{2}{3}=0,2 [/mm] und nicht 0,666666... ??
>
> [mm]0,21 = \frac 2 3 + \frac 1 9\,.[/mm]
>
> Oder allgemein:
>
> [mm]0,a_1a_2a_3\ldots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac {a_n} {3^n}\,.[/mm]
>
> Man kann mit solchen Tertialbrüchen (endlichen oder
> unendlichen) alle reellen Zahlen in [mm][0; 1][/mm] darstellen.
> Interessant für uns ist dabei, wie die Ziffernfolge für
> eine Zahl [mm]x\in[0;1][/mm] bestimmt wird:
>
> Hierzu wird das Intervall [mm][0; 1][/mm] in drei gleichlange
> Intervalle aufgeteilt. Machen wir das gleichmal für [mm]C_1[/mm]:
> Dann sind die Teilintervalle
>
> [0; 1/3], (1/3; 2/3) und [2/3; 1].
>
> Liegt die Zahl im linken Intervall, ist die erste
> Tertialziffer 0 oder 1, liegt sie im mittleren Intervall,
> so muß die erste Ziffer 1 sein, liegt sie im rechten
> Intervall, so ist die Ziffer 2. Da die Ziffer 1 verboten
> ist, liegt keine Zahl, die mit einem erlaubten Tertialbruch
> dargestellt wird, in (1/3;2/3). Und dies ist auch gut so,
> da ja das mittlere Intervall ausgeschnitten wird. Jetzt
> kann man [mm]C_2[/mm] untersuchen und rekursiv [mm]C_n[/mm] für alle [mm]n\in \IN\,.[/mm]
> So sieht man, daß keine Zahl der ausgeschnittenen
> Intervalle durch einen erlaubten Tertialbruch dargestellt
> werden kann.
>
> Umgekehrt können wir alle Randpunkte der Intervalle durch
> erlaubte Tertialbrüche darstellen. Für zum Beispiel [mm]1/3[/mm]
> gibt es eine verbotene Darstellung 0,1 und eine erlaubte,
> nämlich [mm]0,02222\ldots\,.[/mm]
Und was genau ist der Nutzen hiervon??
Ich verstehe nicht wieso man das braucht... man kann es doch direkt über die Intervalle darstellen...
Grüße
Mia
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 So 09.12.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Mia,
>
> ich nerv dich heute besonders ausgiebig...
stimmt 
>
> > Schauen wir uns mal Dezimalbrüche an:
> >
> > [mm]0,1 = \frac 1 {10}[/mm]
> >
> > [mm]0,25 = \frac 2 {10} + \frac 5 {100}[/mm]
> >
> > [mm]0,9999\ldots = \frac 9 {10} + \frac 9 {100} + \frac 9 {1000} + \ldots = \sum_{n=1}^\infty \frac 9 {10^n} = 9\sum_{n=1}^\infty \left (\frac 1 {10}\right)^n = 9*\frac 1 9 = 1\,.[/mm]
>
> Also das hier verstehe ich ... aber ...
>
> >
> > Analog bei Tertialbrüchen. Die Tertialziffern sind [mm]0[/mm], [mm]1[/mm]
> > oder [mm]2[/mm].
> >
> > zum Beispiel:
> >
> > [mm]0,2 = \frac 2 3[/mm]
>
>
> das hier, ist mir ein Rätsel... wieso ist das so... also
> wieso ist [mm]\bruch{2}{3}=0,2[/mm] und nicht 0,666666... ??
Weil $0,2$ als Tertial- und nicht als Dezimalbruch zu verstehen ist. Ersetze bei den Dezimalbrüchen überall die 10 durch die 3. Und statt Dezimalziffern benutze Tertialziffern, also 0, 1 oder 2.
>
> >
> > [mm]0,21 = \frac 2 3 + \frac 1 9\,.[/mm]
> >
> > Oder allgemein:
> >
> > [mm]0,a_1a_2a_3\ldots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac {a_n} {3^n}\,.[/mm]
>
> >
> > Man kann mit solchen Tertialbrüchen (endlichen oder
> > unendlichen) alle reellen Zahlen in [mm][0; 1][/mm] darstellen.
> > Interessant für uns ist dabei, wie die Ziffernfolge für
> > eine Zahl [mm]x\in[0;1][/mm] bestimmt wird:
> >
> > Hierzu wird das Intervall [mm][0; 1][/mm] in drei gleichlange
> > Intervalle aufgeteilt. Machen wir das gleichmal für [mm]C_1[/mm]:
> > Dann sind die Teilintervalle
> >
> > [0; 1/3], (1/3; 2/3) und [2/3; 1].
> >
> > Liegt die Zahl im linken Intervall, ist die erste
> > Tertialziffer 0 oder 1, liegt sie im mittleren Intervall,
> > so muß die erste Ziffer 1 sein, liegt sie im rechten
> > Intervall, so ist die Ziffer 2. Da die Ziffer 1 verboten
> > ist, liegt keine Zahl, die mit einem erlaubten Tertialbruch
> > dargestellt wird, in (1/3;2/3). Und dies ist auch gut so,
> > da ja das mittlere Intervall ausgeschnitten wird. Jetzt
> > kann man [mm]C_2[/mm] untersuchen und rekursiv [mm]C_n[/mm] für alle [mm]n\in \IN\,.[/mm]
> > So sieht man, daß keine Zahl der ausgeschnittenen
> > Intervalle durch einen erlaubten Tertialbruch dargestellt
> > werden kann.
> >
> > Umgekehrt können wir alle Randpunkte der Intervalle durch
> > erlaubte Tertialbrüche darstellen. Für zum Beispiel [mm]1/3[/mm]
> > gibt es eine verbotene Darstellung 0,1 und eine erlaubte,
> > nämlich [mm]0,02222\ldots\,.[/mm]
>
>
> Und was genau ist der Nutzen hiervon??
> Ich verstehe nicht wieso man das braucht... man kann es
> doch direkt über die Intervalle darstellen...
Wir wollen doch beweisen, daß die Cantormenge mit der Menge aller durch erlaubte Tertialbrüche dargestellten Zahlen übereinstimmt. Genau dies verlangt die Aufgabe!
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Mo 10.12.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Wolfgang,
so jetzt habe ich dich ne Weil verschont... trozdem habe ich noch Fragen...
Aber erstmal nur eine! und zwar hast du geschrieben:
> So ist 1/3 = 0,1, aber dies ist ja verboten. Zum Glück
> ist aber auch $ [mm] 1/3=0,022\ldots [/mm] $
Wieso ist $ [mm] 1/3=0,022\ldots [/mm] $ ??
Ich meine, warum 1/3 = 0,1 verboten ist, ist mir klar... wenn nämlich 1/3 = 0,1 wäre, dann wäre es ein isolierter Punkt und die Cantormenge hat keine Isolierten Punkte...
Generell habe ich den Austausch von 10 mit 3 verstanden, aber bei dem $ [mm] 1/3=0,022\ldots [/mm] $ ist es mir noch ein Rätsel...
Also, Hilfe! Bitte!
Grüße
Mia
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 Mo 10.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo Wolfgang,
>
> so jetzt habe ich dich ne Weil verschont... trozdem habe
> ich noch Fragen...
>
> Aber erstmal nur eine! und zwar hast du geschrieben:
>
> > So ist 1/3 = 0,1, aber dies ist ja verboten. Zum Glück
> > ist aber auch [mm]1/3=0,022\ldots[/mm]
>
> Wieso ist [mm]1/3=0,022\ldots[/mm] ??
>
> Ich meine, warum 1/3 = 0,1 verboten ist, ist mir klar...
> wenn nämlich 1/3 = 0,1 wäre, dann wäre es ein isolierter
> Punkt und die Cantormenge hat keine Isolierten Punkte...
Nein. 1/3 liegt in der Cantormenge(rechter Rand vom linken Intervall in [mm] $C_1$). [/mm] Und ist auch nicht isoliert. Verboten ist der Tertialbruch 0,1 weil nämlich eine 1 unter den Ziffern vorkommt. Erlaubt sind nur Zahlen, die eine Dartstellung als Tertialbruch ohne die Ziffer 1 haben.
>
> Generell habe ich den Austausch von 10 mit 3 verstanden,
na, das ist doch schon mal was!
> aber bei dem [mm]1/3=0,022\ldots[/mm] ist es mir noch ein
> Rätsel...
Rechne doch einfach mal die rechte Seite aus:
[mm] $0,022\ldots [/mm] = [mm] \frac [/mm] 0 [mm] {3^1} [/mm] + [mm] \frac [/mm] 2 [mm] {3^2} [/mm] + [mm] \frac [/mm] 2 [mm] {3^3} [/mm] + [mm] \frac [/mm] 2 [mm] {3^4} [/mm] + [mm] \ldots$
[/mm]
Dabei ist die Formel für die geometrische Reihe hilfreich.
Gruß
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Mi 12.12.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Wolfgang,
Okay, nun weiß ich was du meinst.
Habe die Aufgabe nun auch bewältigt... *denke ich*.
Nun sitze ich schon an den Nächsten...
Poste meine Überlegungen, wenn ich ein wenig mehr Zeit und Freiraum habe.
Vielen Dank für deine geduldige Unterstützung.
Mia
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo Wolfgang,
>
> Okay, nun weiß ich was du meinst.
> Habe die Aufgabe nun auch bewältigt... *denke ich*.
Hallo Mia,
Na da bin ich wirklich erleichtert!
Gruß,
Wolfgang
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