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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Fr 25.01.2008 | | Autor: | hundert |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Menge C= [mm] \{x=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a_n}{3^n}|a_n=0 oder 2\}
[/mm]
(a) Skizzieren sie C
(b) Zeigen sie, dass die menge der häufungspunkte von C genau die Menge C selbst ist. |
Okay also zu a, seh ich das richtig das als werte für a=0 immer 0 rauskommt, also zeichene ich ein kartesisches koordiantensytsem und zeihen alle punkite auf der x- achse ab 1 ein. für [mm] a_n [/mm] = 2 setz ich ein [mm] \bruch{2}{3^n} [/mm] und trage die werte ebenfals ein .
zu b
) meneg er häufunspunkte ist bei [mm] a_n [/mm] = 0 0 oder? und bei [mm] a_n= [/mm] 2 ist 2 häufungspunkt,.. wie zeig ich das jetzt genau?
lg
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> Betrachten Sie die Menge C=
> [mm]\{x=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a_n}{3^n}|a_n=0 oder 2\}[/mm]
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> (a) Skizzieren sie C
> (b) Zeigen sie, dass die menge der häufungspunkte von C
> genau die Menge C selbst ist.
> Okay also zu a, seh ich das richtig das als werte für
> a=0 immer 0 rauskommt, also zeichene ich ein kartesisches
> koordiantensytsem und zeihen alle punkite auf der x- achse
> ab 1 ein. für [mm]a_n[/mm] = 2 setz ich ein [mm]\bruch{2}{3^n}[/mm] und
> trage die werte ebenfals ein .
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> zu b
> ) meneg er häufunspunkte ist bei [mm]a_n[/mm] = 0 0 oder? und
> bei [mm]a_n=[/mm] 2 ist 2 häufungspunkt,.. wie zeig ich das jetzt
> genau?
1. Um zu beweisen, dass die Menge aller Häufungspunkte von $C$ jedenfalls in $C$ enthalten ist, nimmst Du an, es sei Dir ein konkretes Element [mm] $x=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a_n}{3^n}$ [/mm] dieser Menge $C$ gegeben. Du musst nun zeigen können, dass es zu jedem noch so kleinen [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein Element von [mm] $C\backslash\{x\}$ [/mm] gibt, das von $x$ einen Abstand kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] hat.
Dazu verwendest Du ein Element von $C$, das für ein genügend grosses Anfangsstück der Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{3^n}$ [/mm] mit der Reihe von $x$ übereinstimmt, im Rest dieser Summe dann aber passend abweicht und daher von $x$ verschieden ist.
2. Um zu beweisen, dass alle Elemente von $C$ Häufungspunkte von $C$ sind, musst Du zeigen, dass es in jeder noch so kleinen [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] eines konkreten Elementes [mm] $x=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a_n}{3^n}$ [/mm] von $C$ ein weiteres, von $x$ verschiedenes Element von $C$ gibt.
3. Um zu beweisen, dass es keine weiteren Häufungspunkte (ausserhalb von $C$) gibt, musst Du für eine beliebige Zahl [mm] $y\in \IR\backslash [/mm] C$ zeigen, dass es eine gewisse [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von $y$ gibt, in der keine weiteren Elemente von $C$ liegen.
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