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| Aufgabe | Seien p,q [mm] \varepsilon \IR, [/mm] die Zahl D= [mm] \bruch{p^{3}}{27}+ \bruch{q^{2}}{4}
[/mm]
sei positiv, und sei w= [mm] \wurzel[3]{-\bruch{q}{2}+D}, [/mm] wobei der Radikant als nichtnegativ vorausgesetzt wird. Zeigen Sie, dass die durch die Cardanische Formel gelieferte Zahl w- [mm] \bruch{p}{3w} [/mm] die kubische Gleichung [mm] x^3+px+q=0 [/mm] löst. |
Hallo zusammen,
zunächst habe ich die beiden Bedingungen einmal kurz mathematischer Dargestellt, also:
D= [mm] \bruch{p^{3}}{27}+ \bruch{q^{2}}{4} [/mm] >0
und Radikant [mm] \wurzel[3]{-\bruch{q}{2}+D} \ge [/mm] 0 (da "nichtnegativ")
Allerdings ist mein Hauptproblem einen allgemeinen Ansatz hierfür zu finden, wozu ich um Denkanstöße bitte!
Ich habe mit folgendes überlegt: die Lösung von w- [mm] \bruch{p}{3w} [/mm] soll laut Behauptung ja eine Nullstelle der kubischen Gleichung sein, also nennen wir sie z.B. x1. Das bedeutet, so allgemein formuliert muss man für x1 eine Abhängigkeit von q und p bekommen, sodass die kubische Gleichung [mm] x^3+px+q=0 [/mm] eben "Null" wird.
Um x1 in Abhängigkeit von p und q auszudrücken könnte man doch
D= [mm] \bruch{p^{3}}{27}+ \bruch{q^{2}}{4} [/mm] einfach in den Radikant
w= [mm] \wurzel[3]{-\bruch{q}{2}+D} [/mm] einsetzen, wodurch man nur noch die Variablen p und q stehen hat und durch umformen einen Term mit p und q erhalten sollte, der eingesetzt in die gegebene Kubische Gleichung =0 ergibt?
Würde mich sehr freuen, wenn sich jemand mal mein Problem ansehen könnte und mir sagen, ob ich so auf dem richtigen Weg bin oder eben andere Vorschläge bzw. Verbesserungen liefert!
Ich danke allem schonmal im Voraus, die sich die Mühe machen!
Liebe Grüße,
Theoretix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:57 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
im Prinzip ist dein Vorgehen richtig :
die Zahl w- $ [mm] \bruch{p}{3w} [/mm] $ bei $ [mm] x^3+px+q [/mm] $ einsetzen, dann den Term für w einsetzen, schließlich den Term für D einsetzen und so lange umformen bis 0 herauskommt.
Hinweis : Dein Term für w ist falsch, es muss w = $ [mm] \wurzel[3]{-\bruch{q}{2}+\wurzel{D}} [/mm] $ heißen.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:12 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Theoretix |
Ich danke dir vielmals!
Werde den Tag über rumrechnen und evt nochmal etwas wegen einer Umformung fragen.
Schönen Tag noch!
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Jetzt habe ich diese Vorgehensweise versucht und hänge an der mathematischen Umformung:
wenn ich einsetze gilt:
w= [mm] \wurzel[3]{-\bruch{q}{2}+\wurzel{\bruch{p^3}{27}}+\bruch{q^2}{4}}
[/mm]
(hoffe, es ist kein Tippfehler enthalten)
dann kann ich das ganze ja jetzt auch in x1= w- [mm] \bruch{p}{3w} [/mm] einsetzen und erhalte:
[mm] \wurzel[3]{-\bruch{q}{2}+\wurzel{\bruch{p^3}{27}}+\bruch{q^2}{4}}-\bruch{p}{3 \wurzel[3]{-\bruch{q}{2}+\wurzel{\bruch{p^3}{27}}+\bruch{q^2}{4}}}
[/mm]
dieses x1 setze in nun in die kubische Gleichung [mm] x1^3+px1+q=0 [/mm] ein und erhalte einen sehr, sehr langen Term, den ich so umformen muss, dass auf der linken Seite der Gleichung auch 0 steht (damit die Aussage bewiesen ist).
Ich habe mir den Kopf zerbrochen und weiß absolut nicht wie ich bei der Umformung vorgehen soll?!=(
Eine Idee war ausklammern, aber das bringt scheinbar nichts, weil bei
[mm] x1^3+px1+q=0--->"q" [/mm] kein x1 enthält...
Vllt könntest du oder jemand anders mir da noch eben einen rechentechnischen Hinweis geben (musst dir gar nicht die Mühe machen diese Monsterterme auszuschreiben, aber so komme ich grade gar nicht weiter...)
Nochmals liebe Grüße!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:03 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Theoretix |
Anmerkung Tippfehler:
Die Wurzel in der Wurzel soll natürlich auch jeweils [mm] "\bruch{q^2}{4}" [/mm] einschließen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
mach' es lieber in der Reihenfolge, die ich oben angedeutet habe :
1. z = w - [mm] \bruch{p}{3w} [/mm] für x in [mm] x^3 [/mm] + px + q einsetzen
2. zusammenfassen, vereinfachen !
3. [mm] w^3 [/mm] = [mm] -\bruch{q}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{D} [/mm] einsetzen
4. zusammenfassen, vereinfachen !
5. Hauptnenner [mm] -\bruch{q}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{D} [/mm] , nur noch den Zähler betrachten
6. zusammenfassen, vereinfachen !
7. D = [mm] \bruch{p^3}{27} [/mm] + [mm] \bruch{q^2}{4} [/mm] einsetzen
8. zusammenfassen, vereinfachen !
9. sich über das Ergebnis "0" freuen.
10. Feierabend !
Gruß Sax.
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ok, werde mal so vorgehen, danke!
aber gleich bei 1. wenn ich einsetze, wie fasse ich das denn zusammen:
(w- [mm] \bruch{p}{3w})^3 [/mm] +p (w- [mm] \bruch{p}{3w}) [/mm] + q= 0
denn bei q steht der teil "p (w- [mm] \bruch{p}{3w})" [/mm] ja nicht, also kann ich schonmal nicht ausklammern?! wie fasse ich das zusammen....?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Sa 23.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein bissel rechnen, also die [mm] (..)^3 [/mm] auflösen musst du schon.
Gruss leduart
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Ok, um (w- [mm] \bruch{p}{3w})^3 [/mm] zu vereinfachen würde ich "w" mit 3w erweitern und den die 2 brüche zusammenziehen, sodass:
[mm] (\bruch{w*3w}{3w}-\bruch{p}{3w})^3 [/mm] = [mm] (\bruch{3w^2-p}{3w})^3
[/mm]
nur kann ich das ja jetzt immer noch nicht [mm] (...)^3 [/mm] potenzieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Sa 23.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
versteh ich nicht![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
ohne auf einen Bruch zu bringen einfach( [mm] a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
[/mm]
die andere Klammer ausm. und dann addieren soweit es geht.
Wenn du Dgl lösen und integriren kannst, wieso dann nicht [mm] irgendwas^3 [/mm] notfalls mit ()*()*() ??
Gruss leduart
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Wenn ich es so mache, kommt bei mir ein ewig langer Term raus der nicht weiterzusammenfassbar ist:
[mm] w^3-3*w^2*\bruch{p}{3w}+3*w*(\bruch{p}{3w})^2-(\bruch{p}{3w})^3
[/mm]
und jetzt kann ich noch die potenzen ausschreiben, sodass:
[mm] w^3-3w^2(\bruch{p}{3w}+3w(\bruch{p^2}{9w^2})-\bruch{p^3}{27w^3}
[/mm]
Vielleicht stehe ich grade auch einfach nur auf dem Schlauch, aber ich sehe nicht, wie ich das noch zusammenfassen könnte?!=)
Gruß
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Hallo Theoretix,
> Wenn ich es so mache, kommt bei mir ein ewig langer Term
> raus der nicht weiterzusammenfassbar ist:
>
> [mm]w^3-3*w^2*\bruch{p}{3w}+3*w*(\bruch{p}{3w})^2-(\bruch{p}{3w})^3[/mm]
> und jetzt kann ich noch die potenzen ausschreiben,
> sodass:
>
> [mm]w^3-3w^2(\bruch{p}{3w}+3w(\bruch{p^2}{9w^2})-\bruch{p^3}{27w^3}[/mm]
>
> Vielleicht stehe ich grade auch einfach nur auf dem
> Schlauch, aber ich sehe nicht, wie ich das noch
> zusammenfassen könnte?!=)
Den Term kannst Du nur etwas vereinfachen:
[mm]w^3-w*p+\bruch{p^2}{3w}-\bruch{p^3}{27w^3}[/mm]
> Gruß
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 So 24.10.2010 | | Autor: | Theoretix |
Ich danke allen für die Hilfe!
Am Ende war das Kürzen der Schlüssel zum Erfolg!
Liebe Grüße
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