Cardano reduziert < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 Di 19.10.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Gegeben sei das Polynom P der Form [mm] $x^{3}+3bx+2d$ [/mm]
a) Es soll nachgewiesen werden, dass für den Fall [mm] $D=b^{3}+d^{2} [/mm] < 0$ die Zahlen [mm] $n_{k}=z+\overline{z}$ [/mm] (für $k=1,2,3$) verschiedene reelle Nullstellen von P sind.
Hinweis: Setzen Sie [mm] z^{3}=-d+i\sqrt{-b^{3}-d^{2}} [/mm] |
Hallo!
Also die Idee ist, die drei Wurzeln auszurechnen einzusetzen und 0 rauszubekommen. Da ja die konjugiert komplexe zusammengerechnet werden hat man dann für die [mm] $n_{k}$s [/mm] nur die zweifachen Realteile der komplexen Zahlen.
[mm] $z^{3}=-d+i\sqrt{-b^{3}-d^{2}}$ [/mm]
das in die Polarform gebracht und die 3te Wurzel gezogen:
[mm] $z_{1}=\sqrt{-b}cis(\frac{\varphi}{3})$ [/mm]
[mm] $n_{1}= z_{1}+\overline{z_{1}}=2\sqrt{-b}cos(\frac{\varphi}{3})
[/mm]
Das habe ich dann auch ins Polynom eingesetzt und zum Winkel umgeformt, nur sehe ich nichts weiter, weil nicht wirklich 0 rauskommt wegen den ganzen Winkeln (habe den [mm] cos^{3} [/mm] der reinkommt umgeformt mit einem Additionstheorem) und ich damit auch nicht zeigen kann, dass sie verschieden sind. Dass sie reell sind ist ja eigentlich schon klar, weil man durch das addieren mit dem komplex konjugierten immer [mm] 2\cdot [/mm] Re(z) übrig hat.
Ich denke also das ist der falsche Weg den ich hier gegangen bin?
Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum erstellt. Ich danke und wünsche euch allen einen schönen Tag.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Di 19.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei das Polynom P der Form [mm]x^{3}+3bx+2d[/mm]
>
> a) Es soll nachgewiesen werden, dass für den Fall
> [mm]D=b^{3}+d^{2} < 0[/mm] die Zahlen [mm]n_{k}=z+\overline{z}[/mm] (für
> [mm]k=1,2,3[/mm]) verschiedene reelle Nullstellen von P sind.
> Hinweis: Setzen Sie [mm]z^{3}=-d+\sqrt{-b^{3}-d^{2}}[/mm]
>
> Hallo!
>
>
> Also die Idee ist, die drei Wurzeln auszurechnen
> einzusetzen und 0 rauszubekommen. Da ja die konjugiert
> komplexe zusammengerechnet werden hat man dann für die
> [mm]n_{k}[/mm]s nur die zweifachen Realteile der komplexen Zahlen.
>
> [mm]z^{3}=-d+\sqrt{-b^{3}-d^{2}}[/mm]
>
> das in die Polarform gebracht und die 3te Wurzel gezogen:
>
> [mm]z_{1}=\sqrt{-b}cis(\frac{\varphi}{3})[/mm]
>
> [mm]$n_{1}= z_{1}+\overline{z_{1}}=2\sqrt{-b}cos(\frac{\varphi}{3})[/mm]
>
>
Was ist denn obiges [mm] \varphi [/mm] ?
Berechne die 3. Wurzeln doch bitte korrekt, z.B. hiermit:
Die 3-ten Wurzel der komplexen Zahl z = [mm] re^{i\varphi} [/mm] sind gegeben durch:
[mm] \sqrt[3]{r}\cdot e^{\mathrm i \frac{\varphi + 2k\pi}3}, [/mm] k=0,1,2
FRED
> Das habe ich dann auch ins Polynom eingesetzt und zum
> Winkel umgeformt, nur sehe ich nichts weiter, weil nicht
> wirklich 0 rauskommt wegen den ganzen Winkeln (habe den
> [mm]cos^{3}[/mm] der reinkommt umgeformt mit einem Additionstheorem)
> und ich damit auch nicht zeigen kann, dass sie verschieden
> sind. Dass sie reell sind ist ja eigentlich schon klar,
> weil man durch das addieren mit dem komplex konjugierten
> immer [mm]2\cdot[/mm] Re(z) übrig hat.
>
> Ich denke also das ist der falsche Weg den ich hier
> gegangen bin?
>
>
> Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum erstellt. Ich
> danke und wünsche euch allen einen schönen Tag.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:11 Di 19.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Hat sich erledigt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:00 Mi 20.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hat sich erledigt...
Danke, Glückwunsch
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Mi 20.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Meine Lösung ist keine Lösung laut Prof. Das Problem ist nur, dass man überall, auch in Mathebüchern, das selbe findet wie ich es gerechnet habe oder aber eine Lösung die aber nur für die nicht reduzierte Form der kubischen Gleichung gilt und mir deshalb nicht wirklich weiterhilft.
Das habe ich gerechnet:
Ausgangsgleichung ist :
$x^{3}+3bx+2d=0$
Folgende Voraussetzungen sind gegeben:
Es gilt für die Diskriminante $D:=d^{2}+b^{3} < 0$ damit alle drei reell werden und verschieden. Und es gilt $z^{3}=-d+i\sqrt{-D}=-q+i\sqrt{-d^{2}-b^{3}}$ Für die Nullstellen soll gelten dass sie alle reell und verschieden sind, und sich zusammensetzen aus $n_{k}=z_{k}+\overline{z_{k}}$ (wobei $k=1,2,3$)
Zuerst habe ich die drei Wurzeln berechnet für $z^{3}=-d+i\sqrt{-d^{2}-b^{3}}:
$z_{1}=\sqrt{-b}cis(\frac{\varphi}{3})=\sqrt{-b}e^{i\frac{\varphi}{3}}$
$z_{2}=\sqrt{-b}cis(\frac{\varphi}{3}+\frac{2}{3}\pi) = \sqrt{-b}e^{i\frac{\varphi}{3}+\frac{2}{3}\pi$
$z_{3}=\sqrt{-b}cis(\frac{\varphi}{3}+\pi)=\sqrt{-b}e^{i\frac{\varphi}{3}+\pi}$
Dann die Nullstellen über die Voraussetzung $z+\overline{z}=n$ :
$n_{1}=2\sqrt{-b}cos(\frac{\varphi}{3})$
$n_{2}=2\sqrt{-b}cos(\frac{\varphi}{3}+\frac{2}{3}\pi)$
$n_{3}=2\sqrt{-b}cos(\frac{\varphi}{3}+\pi)$
Dann um den Winkel $\varphi$ herauszufinden habe ichs in $x^{3}+3bx+2d=0$ eingesetzt:
$r:=2\sqrt{-b};$
$r^{3}cos^{3}(\frac{\varphi}{3})+3b(rcos(\frac{\varphi}{3}))+2d=0$
$\frac{3}{4}r^{3}cos(\frac{\varphi}{3})+\frac{r^{3}}{4}cos{\varphi}+3brcos(\frac{\varphi}{3})+2d=0$
$\frac{1}{4}r^{3}cos(\varphi)+(\frac{3}{4}r^{2}+3b)rcos(\frac{\varphi}{3})+2d=0$
$2\sqrt{-b^{3}}cos(\varphi)+2d=0$
$cos(\varphi)=\frac{d}{\sqrt{-b^{3}})$
$\varphi=arccos(\frac{d}{\sqrt{-b^{3}}})$
Jetzt bin ich davon ausgegangen dass ich fertig bin. Meine Endlösungen für die Nullstellen sehen so aus:
$n_{1}=2\sqrt{-b}cos(\frac{arccos(\frac{d}{\sqrt{-b^{3}}})}{3})$
$n_{2}=-2\sqrt{-b}cos(\frac{arccos(\frac{d}{\sqrt{-b^{3}}})}{3})+\frac{2}{3}\pi)$
$n_{3}=-2\sqrt{-b}cos(\frac{arccos(\frac{d}{\sqrt{-b^{3}}})}{3}+\pi)$
Das ist aber falsch. Was fehlt denn noch... Man sieht ja dass es Nullstellen sind und auch dass sie verschieden und reell sind/sein müssen!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 20:14 Mi 20.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Ok, hier ein erneuter Ansatz:
[mm] $D=b^{3}+d^{2} [/mm] < 0 $
[mm] $\sqrt[2]{D}=\pm |b^{3}+d^{2}|\cdot [/mm] i := [mm] g\cdot [/mm] i$
da Betrag. Ist immer$g>0$
jetzt setze ich diese Zahl ein in die ursprüngliche Wurzelgleichung [mm] $z^{3}= d+\sqrt{-D}$ [/mm] da ziehe ich [mm] $\sqrt{-1}$ [/mm] als $i$ raus:
[mm] $Z=\sqrt[3]{d+gi} [/mm] = a+bi$ und das [mm] Kkonjugierte:$K=\sqrt[3]{d-gi}=a-bi$
[/mm]
und jetzt $Z+K= 2a [mm] =n_{1}$
[/mm]
Weiter komm ich nicht. Wie krieg ich [mm] $n_{2}$ [/mm] und [mm] $n_{3}$ [/mm] raus und wie setze ich dann die Lösung "2a" in die reduzierte Form ein?
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Hallo kushkush,
> Meine Lösung ist keine Lösung laut Prof. Das Problem ist
> nur, dass man überall, auch in Mathebüchern, das selbe
> findet wie ich es gerechnet habe oder aber eine Lösung die
> aber nur für die nicht reduzierte Form der kubischen
> Gleichung gilt und mir deshalb nicht wirklich weiterhilft.
>
>
> Das habe ich gerechnet:
>
> Ausgangsgleichung ist :
>
> [mm]x^{3}+3bx+2d=0[/mm]
>
> Folgende Voraussetzungen sind gegeben:
>
> Es gilt für die Diskriminante [mm]D:=d^{2}+b^{3} < 0[/mm] damit
> alle drei reell werden und verschieden. Und es gilt
> [mm]z^{3}=-d+i\sqrt{-D}=-q+i\sqrt{-d^{2}-b^{3}}[/mm] Für die
> Nullstellen soll gelten dass sie alle reell und verschieden
> sind, und sich zusammensetzen aus
> [mm]n_{k}=z_{k}+\overline{z_{k}}[/mm] (wobei [mm]k=1,2,3[/mm])
>
> Zuerst habe ich die drei Wurzeln berechnet für
> [mm]$z^{3}=-d+i\sqrt{-d^{2}-b^{3}}:[/mm]
>
> [mm]z_{1}=\sqrt{-b}cis(\frac{\varphi}{3})=\sqrt{-b}e^{i\frac{\varphi}{3}}[/mm]
> [mm]z_{2}=\sqrt{-b}cis(\frac{\varphi}{3}+\frac{2}{3}\pi) = \sqrt{-b}e^{i\frac{\varphi}{3}+\frac{2}{3}\pi[/mm]
>
> [mm]z_{3}=\sqrt{-b}cis(\frac{\varphi}{3}+\pi)=\sqrt{-b}e^{i\frac{\varphi}{3}+\pi}[/mm]
Die Lösungen müssen doch so lauten:
[mm]z_{k}=\sqrt{-b^{\red{3}}}e^{i\frac{\varphi+2*k*\pi}{3}}, \ k=1,2,3[/mm]
Konkret:
[mm]z_{1}=\sqrt{-b^{3}}e^{i\frac{\varphi+2*1*\pi}{3}}[/mm]
[mm]z_{2}=\sqrt{-b^{3}}e^{i\frac{\varphi+2*2*\pi}{3}}[/mm]
[mm]z_{3}=\sqrt{-b^{3}}e^{i\frac{\varphi+2*3*\pi}{3}}=\sqrt{-b^{3}}e^{i\frac{\varphi}{3}}[/mm]
>
> Dann die Nullstellen über die Voraussetzung
> [mm]z+\overline{z}=n[/mm] :
>
> [mm]n_{1}=2\sqrt{-b}cos(\frac{\varphi}{3})[/mm]
> [mm]n_{2}=2\sqrt{-b}cos(\frac{\varphi}{3}+\frac{2}{3}\pi)[/mm]
> [mm]n_{3}=2\sqrt{-b}cos(\frac{\varphi}{3}+\pi)[/mm]
>
> Dann um den Winkel [mm]\varphi[/mm] herauszufinden habe ichs in
> [mm]x^{3}+3bx+2d=0[/mm] eingesetzt:
>
> [mm]r:=2\sqrt{-b};[/mm]
>
> [mm]r^{3}cos^{3}(\frac{\varphi}{3})+3b(rcos(\frac{\varphi}{3}))+2d=0[/mm]
>
> [mm]\frac{3}{4}r^{3}cos(\frac{\varphi}{3})+\frac{r^{3}}{4}cos{\varphi}+3brcos(\frac{\varphi}{3})+2d=0[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{4}r^{3}cos(\varphi)+(\frac{3}{4}r^{2}+3b)rcos(\frac{\varphi}{3})+2d=0[/mm]
> [mm]2\sqrt{-b^{3}}cos(\varphi)+2d=0[/mm]
> [mm]cos(\varphi)=\frac{d}{\sqrt{-b^{3}})[/mm]
Die Gleichung muss doch so lauten:
[mm]cos(\varphi)=\frac{\red{-}d}{\sqrt{-b^{3}})[/mm]
> [mm]\varphi=arccos(\frac{d}{\sqrt{-b^{3}}})[/mm]
Damit ergibt sich der Winkel [mm]\varphi[/mm] zu:
[mm]\varphi=arccos(\frac{\red{-}d}{\sqrt{-b^{3}}})[/mm]
>
> Jetzt bin ich davon ausgegangen dass ich fertig bin. Meine
> Endlösungen für die Nullstellen sehen so aus:
>
> [mm]n_{1}=2\sqrt{-b}cos(\frac{arccos(\frac{d}{\sqrt{-b^{3}}})}{3})[/mm]
>
> [mm]n_{2}=-2\sqrt{-b}cos(\frac{arccos(\frac{d}{\sqrt{-b^{3}}})}{3})+\frac{2}{3}\pi)[/mm]
>
> [mm]n_{3}=-2\sqrt{-b}cos(\frac{arccos(\frac{d}{\sqrt{-b^{3}}})}{3}+\pi)[/mm]
>
>
>
> Das ist aber falsch. Was fehlt denn noch... Man sieht ja
> dass es Nullstellen sind und auch dass sie verschieden und
> reell sind/sein müssen!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Mi 20.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
Danke für die Korrekturen. Der Prof hat sich meine Lösung nicht lange und gründlich angeschaut, aber gesagt dass diese Form nicht korrekt ist und man auf keinen Fall mit Winkelfunktionen rumhantieren soll und auf die Voraussetzungen achten muss...
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Hallo kushkush,
> Hallo Mathepower,
>
>
> Danke für die Korrekturen. Der Prof hat sich meine Lösung
> nicht lange und gründlich angeschaut, aber gesagt dass
> diese Form nicht korrekt ist und man auf keinen Fall mit
> Winkelfunktionen rumhantieren soll und auf die
> Voraussetzungen achten muss...
>
Die Gleichung
[mm] z^{3}=-d+\sqrt{-b^{3}-d^{2}}[/mm]
kann man auch händisch lösen,
da der rechte Teil dieser Gleichung reell ist.
Setze dazu [mm]z=a+b*i[/mm]
Dies in die Gleichung eingesetzt und nach Real- und Imaginärteil
getrennt, ergibt ein Gleichungssystem, woraus sich a und b bestimmen
lassen.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 Mi 20.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Danke,
aber es ist [mm] $z^{3}=-d+i\sqrt{-d^{2}-b^{3}}$
[/mm]
habe das i vergessen hinzuschreiben, sorry.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:29 Do 21.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke,
>
> aber es ist [mm]z^{3}=-d+i\sqrt{-d^{2}-b^{3}}[/mm]
>
> habe das i vergessen hinzuschreiben, sorry.
Knallkopf ! Und das merkst Du erst nach 2 Tagen , in denen sich einige Helfer mit Dir und dieser Aufgabe auseinandergesetzt haben ? Ich bedanke mich.
Aber es passt zu Deinem Profil:
Wohnort: (Weihnachtsinsel) · Math. Background: Klasse 1 Grundschule
(sehr witzig)
FRED
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