Cauchy-Folge in K < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 So 01.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | ich verstehe nicht ganz die definiotin die wir hatten und hoffe, dass man es mir erklärt und vielleicht auch die Schritte aufschreibt, die man macht um einer beliebige Folge nachzuweisen, dass diese Cauchy-Folge ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Def aus vorlesung: [mm] (a_{n}) [/mm] heißt Cauchy-Folge in K, wenn
[mm] \forall \varepsilon \in [/mm] K [mm] \exists n_{0}\in\IN \forall m,n\in\IN_{0} (\varepsilon>0, m\ge n_{0}, n\ge n_{0}) [/mm] -> [mm] |a_{m}-a_{n}|\ge \varepsilon, [/mm] d.h. wenn es zu jedem kleinen [mm] \varepsilon>0 [/mm] einen Index gibt, derart, dass für alle späteren größeren Indizes m, n gilt [mm] |a_{m}-a_{n}|\ge \varepsilon
[/mm]
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> ich verstehe nicht ganz die definiotin die wir hatten und
> hoffe, dass man es mir erklärt und vielleicht auch die
> Schritte aufschreibt, die man macht um einer beliebige
> Folge nachzuweisen, dass diese Cauchy-Folge ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Def aus vorlesung: [mm](a_{n})[/mm] heißt Cauchy-Folge in K, wenn
> [mm]\forall \varepsilon \in[/mm] K [mm]\exists n_{0}\in\IN \forall m,n\in\IN_{0} (\varepsilon>0, m\ge n_{0}, n\ge n_{0})[/mm]
> -> [mm]|a_{m}-a_{n}|\ge \varepsilon,[/mm] d.h. wenn es zu jedem
> kleinen [mm]\varepsilon>0[/mm] einen Index gibt, derart, dass für
> alle späteren größeren Indizes m, n gilt
> [mm]|a_{m}-a_{n}|\ge \varepsilon[/mm]
Hallo,
die Erklärung hast Du ja selbst schon aufgeschreiben.
Mal grob gesagt: bei einer Cauchyfolge rücken die Folgenglieder beliebig dicht zusammen.
Wenn man zeigen soll, daß eine Folge eine Cauchyfolge ist, dann kann man im Falle einer Folge, von welcher man aus irgendeinem Grunde weiß, daß sie konvergiert, verwenden, daß konvergente Folgen Cauchyfolgen sind. (Satz aus der Vorlesung).
Wenn man das nicht weiß, muß man den Beweis über die Def. führen,
also zu [mm] \varepsilon [/mm] ein passendes N angeben, und dann vorrechnen, daß für alle n,m>N die Bedingung [mm] |a_{m}-a_{n}|\ge \varepsilon [/mm] erfüllt ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 So 01.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | also definition verstehe ich nun, aber wieso sthet bei der def: für konvergenz folgendes: [mm] |a_{n}-a|\le \varepsilon [/mm] und bei Chauchy Folgen [mm] |a_{m}-a_{n}|\le \varepsilon [/mm] |
also wenn ich z.B. habe [mm] a_{0}=0, a_{1}=1, a_{n+1}= \frac{2}{3}*a_{n}+ \frac{1}{3}*a_{n-1}
[/mm]
und muss beweisen: 1.ist cauchy Folge in [mm] \IQ
[/mm]
[mm] 2.a_{n} [/mm] konvergiert in [mm] \IQ [/mm] und den Grenzwert angeben
zu1. [mm] |a_{m}-a_{n}|\le \varepsilon [/mm] was setze ich für [mm] a_{m},a_{n}
[/mm]
kann ich für [mm] a_{n} [/mm] folgendes einsetzen: [mm] \frac{2}{3}*a_{n-1}+ \frac{1}{3}*a_{n}?
[/mm]
zu2. [mm] |a_{n}-a|\le \varepsilon [/mm] wenn ich n nach oben abschätze bekomme ich a= 1 ist das richtig? setze ich für [mm] a_{n} [/mm] dasselbe wie oben?
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> also definition verstehe ich nun, aber wieso sthet bei der
> def: für konvergenz folgendes: [mm]|a_{n}-a|\le \varepsilon[/mm]
> und bei Chauchy Folgen [mm]|a_{m}-a_{n}|\le \varepsilon[/mm]
Hallo,
ich bin mir nicht sicher, ob ich diese Frage richtig verstehe.
Die Konvergenz gegen a handelt davon, ab sich die Folgenglieder beliebig dicht dem a annähern,
Cauchyfolge handelt davon, daß die Folgenglieder beliebig dicht zusammenrücken.
> also
> wenn ich z.B. habe [mm]a_{0}=0, a_{1}=1, a_{n+1}= \frac{2}{3}*a_{n}+ \frac{1}{3}*a_{n-1}[/mm]
>
> und muss beweisen: 1.ist cauchy Folge in [mm]\IQ[/mm]
> [mm]2.a_{n}[/mm] konvergiert in
> [mm]\IQ[/mm] und den Grenzwert angeben
Ich habe (nach ein bißchen Herumspielen) festgestellt, daß die Folge [mm] (a_n) [/mm] in expliziter Darstellung lautet:
[mm] a_0=0 [/mm] und [mm] a_{n}:=\summe_{i=0}^{n-1}(-\bruch{1}{3})^i, [/mm] (was natürlich bewiesen werden muß.(!) )
Um "Cauchyfolge" nachzuweisen, schreibe ich m als m=n+k, damit sollte man rechnen können.
Etwas Kenntnisse über die geometrische Reihe sind sehr nützlich, war die dran?
Der Grenzwert ist nicht, wie Du vermutest, 1 sondern [mm] \bruch{3}{4}.
[/mm]
Vielleicht kannst Du nun Lösungsversuche unternehmen.
Gruß v. Angela
> zu1. [mm]|a_{m}-a_{n}|\le \varepsilon[/mm] was setze ich für
> [mm]a_{m},a_{n}[/mm]
> kann ich für [mm]a_{n}[/mm] folgendes einsetzen:
> [mm]\frac{2}{3}*a_{n-1}+ \frac{1}{3}*a_{n}?[/mm]
>
> zu2. [mm]|a_{n}-a|\le \varepsilon[/mm] wenn ich n nach oben
> abschätze bekomme ich a= 1 ist das richtig? setze ich für
> [mm]a_{n}[/mm] dasselbe wie oben?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 So 01.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | sollte was ich in vorherigen Frage geschrieben habe richtig sein... |
> [mm]|a_{m}-a_{n}|\ge \varepsilon[/mm] was ist einetlich in diesem fall dann [mm] a_{m} [/mm] kann ich
und wo kann ich die angegebenen [mm] a_{0} [/mm] und [mm] a_{1} [/mm] benutzen?
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> und wo kann ich die angegebenen [mm]a_{0}[/mm] und [mm]a_{1}[/mm] benutzen?
Hallo,
s. meine andere Antwort.
Ich habe die Folge erstmal in expliziter Darstellung aufgeschrieben.
Gruß v. Angela
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